Télécharger le fichier original (Mémoire de fin d’études)

Modèles d’élasticité périodique pour des dislocations

Pour l’étude des transformations de phase martensitiques, certaines approches (Ahluwalia 01, Salman 09, Shchyglo 12) reposent sur une énergie élastique non linéaire et évitent l’introduction de champs supplémentaires nécessaires dans les approches champ de phase précédentes. L’énergie élastique est paramétrée afin de retrouver des minima pour des états de déformation correspondant aux différents variants de la mar-tensite. Cette technique présente l’avantage de prendre en compte facilement le rôle de l’inertie et des grandes déformations, deux éléments qui influencent beaucoup la dyna-mique de la transformation de phase et la microstructure finale (Salman 09).
Comme précédemment, le mouvement d’une dislocation peut être vu comme une transformation de phase displacive entre une phase non cisaillée et une phase cisaillée. Ainsi, les modèles proposés pour les transformations martensitiques peuvent être trans-posés à la dynamique des dislocations. Étant donné que l’on doit retrouver un mini-mum d’énergie après le passage d’un nombre quelconque de dislocations sur un plan de glissement, le paysage énergétique est nécessairement périodique en fonction des déformations de cisaillement.
Cette approche a été suivie par Onuki et Minami (Onuki 03, Minami 04, Minami 05, Minami 07) avec différents modèles d’élasticité périodique destinés à l’étude des dislo-cations. Dans ces modèles, aucun terme de gradient n’est introduit dans la fonctionnelle d’énergie libre et les dislocations émergent naturellement. Dans (Onuki 03), l’énergie élastique est écrite comme la somme d’une contribution harmonique et d’une contri-bution périodique portant sur les déformations de cisaillement. Le potentiel périodique présente une invariance par rotation de p/3 afin de modéliser les systèmes de glisse-ment d’un réseau triangulaire. Les différents champs sont discrétisés sur une grille de différences finies cubique où les déplacements et le tenseur des contraintes sont définis sur des grilles décalées. Cependant, comme souligné par l’auteur (Onuki 03), l’utilisa-tion d’une grille à symétrie cubique empêche l’apparition des systèmes de glissement du réseau triangulaire car ils ne coïncident pas avec la grille de discrétisation.
Dans (Minami 04), les auteurs proposent un modèle similaire permettant de mo-déliser des systèmes de glissement orientés à p/4 les uns par rapport aux autres, conformes à la grille de discrétisation cubique. Le modèle d’élasticité périodique pro-posé est couplé à un modèle de Cahn-Hilliard (Cahn 58) afin d’étudier les interactions entre dislocations et microstructures. Les auteurs étudient la nucléation de dislocations à l’interface entre précipité et microstructure et le comportement plastique qui en ré-sulte. Ce modèle d’élasticité périodique est généralisé à 3 dimensions dans (Minami 05) et appliqué à l’étude du comportement plastique d’un alliage binaire.
Des améliorations du modèle initial sont également proposées pour tenir compte de l’évolution d’une population de lacunes (Onuki 03) et pour étudier le rôle des disloca-tions dans les phénomènes de précipitation et de décomposition spinodale (Minami 07).
Les travaux de Onuki et Minami décrits ci-dessus abordent une grande variété de problèmes complexes portant sur les interactions entre dislocations et évolution mi-crostructurale. Cependant, les sujets abordés sont souvent survolés et les auteurs ne cherchent en général qu’à montrer les possibilités du modèle sans détailler avec atten-tion les différents mécanismes.
Salman et al. (Salman 11) proposent une version simplifiée de ce type de modèle où une seule composante des déplacements est prise en compte et un seul système de glissement est actif. Les auteurs utilisent cette approche pour étudier le caractère intermittent de l’activité plastique en 2D.
Il est important de noter qu’une fois discrétisés sur une grille de différences fi-nies qui rend compte de l’aspect discret du réseau, ces modèles d’élasticité non linéaire sont très similaires aux approches de type Frenkel-Kontorova généralisées (Landau 93, Landau 94, Carpio 03a, Carpio 05) décrites dans le paragraphe 1.1.1.

Ecriture d’un modèle d’élasticité périodique

Nous proposons un modèle très similaire aux approches présentées dans (Onuki 03, Minami 04, Minami 05, Minami 07). Ce modèle repose sur l’introduction de potentiels périodiques directement dans l’écriture de l’énergie élastique. Ainsi, aucun champ sup-plémentaire n’est nécessaire pour décrire l’évolution du système. Les équations dyna-miques sont choisies pour reproduire la dynamique visqueuse des dislocations.

Introduction du modèle d’élasticité périodique dans un cas simple

Contrairement aux approches champ de phase qui reposent sur la notion de dé-formation libre, l’approche proposée ici consiste à modifier l’énergie élastique de telle sorte que lorsque le matériau subit une déformation #ij = 2kh (binj + bjni) (k 2 Z), le système retrouve un minimum d’énergie. En d’autres termes, la périodicité du cristal est directement prise en compte dans l’écriture de l’énergie.
En particulier, considérons un matériau bidimensionnel élastique isotrope possédant un système de glissement qui a pour vecteur de Burgers b = [1, 0] et pour normale n = [0, 1]. On peut écrire l’énergie élastique du système comme : Eel = Z dr3n l + 2m (#211 + #222) + l#11#22 + p(#12)o (1.28) où l et m sont les coefficients de Lamé. En choisissant p(#12) = 2m#212, on retrouve l’éner-gie d’un matériau isotrope en élasticité linéaire. En notant #ˆ = b/2h la déformation caractéristique de la périodicité du cristal, on modifie l’énergie élastique afin de retrou-ver un minium d’énergie lorsque #12 = #ˆ. Pour tenir compte du passage de plusieurs dislocations, on veut également retrouver un minimum d’énergie pour toutes les valeurs de #12 = k#ˆ, où k est un entier. Un choix naturel pour p(#12) est une fonction périodique de période #ˆ. Pour s’assurer de retrouver le comportement élastique linéaire pour les petites déformations, on choisi la fonction p telle que p0(0) = 0 et p00(0) = 4m. Une forme simple de p qui remplit ces conditions est : p(#12) = m#ˆ [1 cos (2p#12/#ˆ)] (1.29)
En se placant dans le cadre des petites déformations, les composantes du tenseur de déformation sont définies à partir des déplacements u de la manière suivante dans un repère cartésien :
#ij = 2 ¶xj + ¶xi (1.30)
Figure 1.5 – (a) Schéma de principe du modèle d’élasticité non linéaire en 2D. (b) Une dislocation coin dans le modèle d’élasticité non linéaire.
Ces équations peuvent être discrétisées sur une grille de différences finies cubique dont le pas de discrétisation est égal au vecteur de Burgers b. Les déplacements peuvent être alors vus comme ceux d’atomes d’un cristal de symétrie cubique. La figure 1.5.a représente un schéma du modèle pour une telle discrétisation et la figure 1.5.b présente une dislocation coin. Dans cette représentation, la dislocation peut être vue comme une frontière entre deux parties du cristal dont les composantes de cisaillement sont dans 2 puits adjacents du potentiel périodique.
On peut remarquer que le choix d’inclure la déformation #12 dans le potentiel pério-dique conduit à l’apparition du système de glissement orthogonal b = [0, 1], n = [1, 0]. Ceci est dû à la symétrisation du tenseur de déformation.

Généralisation au cas 3D non isotrope

Cette démarche peut être généralisée au cas 3D non isotrope de manière directe.
Ecriture de l’énergie
On se place dans le cas d’un comportement élastique orthotrope (c’est-à-dire avec trois plans de symétrie orthogonaux deux à deux). Pour une telle symétrie, chaque com-posante de cisaillement est indépendante des autres composantes de déformation. On peut alors généraliser la démarche vue au paragraphe 1.2.1 et écrire l’énergie élastique du système comme : Eel = dr3  » å C2iijj (#ii #0ii)(#jj #0jj) + å pij #ij #0ij # (1.31) où #0ij désigne les éventuelles déformations libres issus d’une microstructure environ-nante (solution solide, précipités de seconde phase, etc.). On choisit les fonctions pij périodiques de période #ˆ. Nous considèrerons un potentiel périodique de la forme sui-vante : Pour i < j, pij(#ij) = Cijij#ˆ2 h a + 1 1 cos 2p#ij/#ˆ a 1 cos 4p#ij/#ˆ i p2 2 8 (1.32) où a est un paramètre sans dimension qui contrôle la forme générale du potentiel périodique comme illustré sur la figure 1.6. La paramétrisation du potentiel périodique est choisie de telle sorte que l’on retrouve l’élasticité linéaire lorsque # ’ k#ˆ (k 2 Z), quel que soit le choix de a et #ˆ. Nous verrons que le paramètre a permet de modifier les propriétés des dislocations telles que la structure de cœur et la contrainte de Peierls.
Il faut souligner que les fonctions périodiques sont ici construites de manière phé-noménologique. Une autre démarche consisterait à construire ces fonctions à partir de g-surfaces issues de calculs ab initio.
Comme nous l’avons déjà dit pour le cas simple 2D, l’écriture de l’énergie condi-tionne les systèmes de glissement que l’on peut modéliser. En particulier, la séparation des différentes composantes de cisaillement qui a été choisie dans l’équation 1.31 per-met le modéliser les 6 systèmes de glissement de type (100)[001] correspondant aux systèmes de glissement d’une symétrie cubique simple.

Dynamique lagrangienne et choix du potentiel de dissipation

La seconde étape consiste à définir les équations dynamiques qui régissent l’évolu-tion du système. Dans la mesure où parmi les degrés de liberté figurent les déplace-ments, il est naturel d’écrire une dynamique lagrangienne, en particulier pour prendre en compte les effets de l’inertie. On définit ainsi le lagrangien du système comme L = T E el où T est l’énergie cinétique du système exprimée comme : T = dr3 r2 åi u˙2i (1.33) où r désigne la masse volumique du matériau que l’on suppose homogène. Lorsqu’un solide cristallin subit une déformation élastique ou plastique, l’énergie interne est dis-sipée sous forme de chaleur. Cette dissipation est introduite dans le formalisme de Lagrange par un potentiel de Rayleigh. Comme expliqué dans (Landau 67), un choix pertinent pour le potentiel de dissipation est de l’écrire sur les déformations. Il s’agit d’une dissipation interne : aucune énergie n’est dissipée si le solide subit une transla-tion ou une rotation dans l’espace. En notant le coefficient de dissipation h, le potentiel de dissipation s’écrit comme : R = dr3 h2 åi,j #˙2ij (1.34)
La dynamique de Lagrange-Rayleigh du système s’écrit finalement comme dt du˙i(r) dui(r) du˙i(r) d dL = dL dR (1.35)
Le calcul du premier terme du membre de droite donne : dL = ¶sij(r) (1.36) où les contraintes sont définies de manière usuelle sij(r) = dEel /d#ij(r). D’autre part, dR = h ¶#ij(r) (1.37)
On en déduit finalement les équations d’évolution locale : ru¨i = ¶xj sij + h#˙ij (1.38)
Par combinaisons linéaires, on peut en déduire les équations d’évolution sur les défor-mations :
r#¨ij 2 « ¶xj ¶xk + ¶xi ¶xk # = 2 « ¶xj¶xk + ¶xi¶xk # (1.39)
h ¶2 #˙ ik ¶2 #˙jk 1 ¶2s ¶2sjk
On peut également considérer un potentiel de dissipation sur les déplacements : R = dr3 h2 åi u˙2i (1.40)
Cette dissipation est qualifiée d’extrinsèque car la dynamique du système se comporte comme si chaque élément de volume « frottait » sur un substrat auquel il communique l’énergie dissipée. On en déduit les équations suivantes sur les déformations #ij .
Les équations qui en résultent sont plus aisées à résoudre numériquement. Pour des raisons de simplicité, on fera donc le choix de la dissipation extrinsèque.
On peut noter que les équations dynamiques 1.39 et 1.41 garantissent les conditions de compatibilité de Saint-Venant sur les déformations tout au long de l’évolution du système car elles sont directement déduites des équations dynamiques sur les déplace-ments (Salman 09).
Sur une large plage de contraintes, la dynamique des dislocations est fortement amortie du fait du mécanisme de traînée de phonons (Kubin 13). Une simplification de l’équation 1.41 consiste à négliger les termes inertiels, numériquement coûteux à prendre en compte. On verra qu’une simple dynamique dissipative permet de retrouver la dynamique amortie des dislocations. Une autre modification apportée à la dynamique d’Euler-Lagrange consiste à introduire un bruit de Langevin qui remplace qualitative-ment les fluctuations thermiques. Afin de conserver la compatibilité de Saint-Venant, cette contribution est écrite comme des déplacements aléatoires x. On obtient finale-ment les équations dynamiques .
où les xi sont des bruits blancs gaussiens tels que hxi(x, t)xi(x0, t0)i = Gd(x x0)d(t t0) avec G un coefficient proportionnel à la température.
L’influence de l’inertie peut être facilement prise en compte dans les équations dynamiques. Ainsi, ce modèle peut être utilisé afin d’étudier les mécanismes de traînée de phonons comme l’ont effectué Carpio et al. (Carpio 03a, Carpio 03b) ou le comportement des dislocations à des vitesses élevées.
On a choisi ici le cadre des petites déformations. Ce choix est discutable, notam-ment au niveau du cœur des dislocations où les déformations sont importantes. Afin de prendre en compte l’effet des grandes déformations sur la structure de cœur, le modèle peut être écrit en grandes déformations en suivant les travaux de Salman (Salman 09).
Au vu des objectifs de ces travaux de thèse (couplage avec des processus diffusifs), les effets de l’inertie ne sont pas pris en compte. On considère également que les grandes déformations ont peu d’influence sur les résultats obtenus et on conserve le formalisme des petites déformations par simplicité.

Analyse des équations dynamiques

Une analyse simple permet de montrer que les équations 1.42 en l’absence de bruit permettent de retrouver une dynamique dissipative sur les dislocations du type vB = bsa où sa désigne la contrainte appliquée de cisaillement et B est un coefficient constant. Considérons pour cela une dislocation coin isolée dans un milieu infini et analysons la dynamique du champ #12 dans son plan de glissement (figure 1.7) où l’exposant « s » indique le caractère stationnaire des champs de contrainte autour de la dislocation.
On applique maintenant une contrainte extérieure s12a 0 de telle sorte que la dislo-cation se déplace selon les x1 croissants à une vitesse v. On choisit cette contrainte suffi-samment petite par rapport aux contraintes dans le cœur de la dislocation pour qu’elle n’induise qu’une petite perturbation #a12 ’ s12a/2 du champ de déformation. Les champs de contrainte s11 et s22 ne sont pas influencés par cette déformation et conservent leur profil stationnaire. En ré-exprimant l’équation 1.42 dans le repère mobile lié à la dislo-cation (x¯1, x¯2) = (x 1 vt, x2).
Les contraintes de cisaillement sont écrites en fonction du potentiel périodique et un simple développement de Taylor permet d’obtenir : s12(#12) = p(#s12 + #a12) ’ s12s + #a12 p0(#s12) (1.45) où p0 désigne la dérivée de p par rapport à #12. L’utilisation de la relation 1.43 entre les composantes du champ de contrainte à l’équilibre permet d’obtenir l’équation.
Afin d’obtenir une expression de la vitesse, cette équation peut être intégrée sur un domaine f ¥, ¥g f0, dg. Il est aisé de montrer que l’intégrale de ¶#12/¶x¯1 vaut b/2 et celle du premier terme du membre de droite est nulle. On en déduit l’expression suivante en utilisant la relation s12a = 2m#a12 : vhb = s12a Z0 d Z +¥ ¶p0(#s12) dx¯1dx¯2 (1.47) 2m ¥ ¶x¯22
On retrouve bien une relation linéaire entre la vitesse et la contrainte appliquée. On peut noter que le coefficient de proportionnalité dépend de la structure du cœur via l’intégrande ¶p0(#s12)/¶x¯22. Un raisonnement similaire permet d’obtenir un résultat identique dans le cas d’une dislocation vis.

Implémentation numérique

En choisissant dc = b comme longueur caractéristique, Ec = C1212b3 comme énergie caractéristique et tc = hb2/C1212 comme temps caractéristique, les équations 1.31 et 1.42 sont tout d’abord normalisées.
Afin d’intégrer les équations d’évolution adimentionnées, les champs de déplace-ment et de déformations sont discrétisés sur une grille de différences finies cubique. Un choix naturel pour le pas de discrétisation noté d est la distance interatomique, c’est à dire la norme du vecteur de Burgers dans le cas d’un réseau cubique simple. Les champs de déplacement peuvent alors être vus comme le déplacement des atomes du réseau cubique simple (figure 1.8.a). Cependant, le pas de discrétisation peut être choisi indépendamment de la distance interatomique. En particulier, on peut discrétiser le mo-dèle à une échelle plus large que l’échelle atomique. Le schéma de la figure 1.8 montre la même configuration atomique d’un cisaillement localisé sur un plan interatomique pour deux pas de discrétisation différents d = b et d = 10 b. Il est clair que pour une discré-tisation d = 10b, les potentiels périodiques doivent présenter une fréquence 10 fois plus importante que pour une discrétisation d = b afin de retrouver un minimum d’énergie dans la configuration représentée sur la figure 1.8.b. Ainsi, le paramètre #ˆ dépend du pas de discrétisation, soit #ˆ = b/2d. Dans la section 1.3, on verra que ce paramètre influence les propriétés des dislocations.
Les équations 1.42 sont discrétisées sur 4 grilles décalées (Saenger 00, Carcione 02) représentées sur la figure 1.9. Les composantes diagonales des tenseurs de déformations et de contraintes sont définies sur la grille principale (losange vert) et chaque compo-sante non diagonale est définie sur une grille complémentaire (carrés bleus). Les com-posantes du champ de déplacement qui interviennent indirectement dans les équations dynamiques 1.42 sont définies sur 3 grilles (1 grille par composante) représentés par des cercles rouges sur la figure 1.9.

Table des matières

Introduction 
1 Modèle d’élasticité non-linéaire pour la dynamique des dislocations
1.1 Modélisation continue des dislocations
1.1.1 Le modèle de Frenkel-Kontorova (MFK)
1.1.2 Le modèle de Peierls-Nabarro (MPN)
1.1.3 Modèles de champ de phase pour les dislocations
1.1.4 Modèles d’élasticité périodique pour des dislocations
1.2 Ecriture d’un modèle d’élasticité périodique
1.2.1 Introduction du modèle d’élasticité périodique dans un cas simple
1.2.2 Généralisation au cas 3D non isotrope
1.2.3 Implémentation numérique
1.3 Validation du modèle
1.3.1 Structure de coeur
1.3.2 Champs de contrainte à longue distance
1.3.3 Contrainte de Peierls
1.4 Conclusion
2 Perte de cohérence par nucléation de dislocations 
2.1 Introduction
2.1.1 Observations expérimentales
2.1.2 Etudes théoriques
2.2 Formation de boucles prismatique – Processus d’Ashby et Johnson
2.3 Processus plus complexes
2.4 Génération de trains de boucles prismatiques
2.5 Conclusion
3 Interactions dislocations/microstructure en évolution dans l’alliage Al-Sc 
3.1 Études théoriques de l’influence des dislocations sur l’évolution microstructurale
3.2 Description des alliages aluminium-scandium
3.2.1 Desctiption de la phase Al3Sc
3.2.2 Influence des précipités Al3Sc sur les propriétés mécaniques
3.3 Développement d’un modèle de champ de phase pour l’alliage Al-Sc
3.3.1 Energie libre du système
3.3.2 Paramétrage des fonctions fch et fgrad
3.3.3 Paramétrage de l’énergie élastique
3.3.4 Equations dynamiques
3.3.5 Adimensionnement et résolution numérique du modèle
3.4 Influence des dislocations sur la morphologie d’une interface plane
3.4.1 Observations expérimentales
3.4.2 Approche analytique
3.4.3 Comparaison avec les observations expérimentales de l’alliage CMSX-4
3.4.4 Simulations champ de phase
3.5 Interaction entre une boucle d’Orowan et un précipité sphérique
3.6 Influence d’une dislocation sur la mobilité d’une interface
3.7 Perspective d’application : hydrures dans le zirconium
3.8 Conclusion
4 Modèle champ de phase pour la montée des dislocations 
4.1 Les différentes approches de la montée des dislocations
4.1.1 Calcul de la vitesse de montée dans un cas simple
4.1.2 Calcul de la vitesse de montée dans le cas d’une concentration faible en crans
4.1.3 Mesures expérimentales de la vitesse de montée
4.1.4 Les techniques de simulation pour l’étude de la montée
4.2 Modèle champ de phase pour la montée des dislocations
4.2.1 Présentation du modèle
4.2.2 Analyse du modèle
4.3 Montée de dislocations isolées et influence du paramètre L
4.3.1 Montée sous l’effet d’une contrainte appliquée
4.3.2 Montée pilotée par une sursaturation
4.4 Influence des interactions élastiques entre lacunes et dislocations
4.4.1 Concentration à l’équilibre
4.4.2 Influence sur la vitesse de montée – approche analytique
4.4.3 Simulations champ de phase et résultats contradictoires
4.4.4 Influence de l’élasticité des lacunes sur la dislocation
4.4.5 Interactions élastiques lacunes-lacunes
4.4.6 Effet de traînée de Cottrell
4.5 Montée de dislocations non isolées
4.5.1 Influence de la distribution des dislocations
4.5.2 Vers le fluage
4.5.3 Annihilation d’un dipôle et influence de l’élasticité
4.6 Conclusion
Conclusion générale 
A Annexes
A.1 Piste pour la construction d’une énergie périodique pour des systèmes de glissement quelconques
A.2 Comparaison entre les grilles différences finies décalées et standards
A.3 Calcul parallèle : comparaison entre MPI et FFTW
A.3.1 Méthode 1 : Intégration semi-implicite et parallélisation en mémoire partagée
A.3.2 Méthode 2 : parallélisation en mémoire distribuée
A.3.3 Comparaison entre les deux stratégies
A.4 Implémentation numérique du modèle de montée
A.4.1 Intégration des équations dynamiques dans l’espace de Fourier
A.4.2 Résolution de l’équilibre élastique
A.4.3 Comparaison avec les différences finies classiques
A.5 Calcul analytique de la vitesse de montée en présence d’interactions élastiques entre la dislocation et les lacunes
A.6 Modélisation de crans en champ de phase
A.7 Piste pour coupler le glissement et la montée des dislocations en champ de phase
Bibliographie 

Télécharger le rapport complet