Performances théoriques d’un algorithme MUSIC tensoriel basé sur la HOSVD et appliqué à des sources polarisées

MUSIC unidimensionnel

Depuis son introduction dans les années 80 [81], l’algorithme MUltiple SIgnal Classification (MUSIC) s’est imposé comme l’algorithme haute résolution de référence pour la localisation de source. Dans cette section, les principaux résultats concernant MUSIC sont rappelés ainsi que le calcul théorique de l’Erreur Quadratique Moyenne (EQM) des directions d’arrivée des sources. 

Modèle

On considère un champ d’onde qui arrive sur un réseau de capteurs (voir figure 2.1). L’antenne formée par le réseau de capteurs est supposée linéaire et uniforme. Elle est composée de Nx capteurs 37 Performances théoriques d’un algorithme MUSIC tensoriel basé sur la HOSVD et appliqué à des sources polarisées 

FIGURE 2.1 – Arrivée d’une onde plane sur une Antenne Linéaire Uniforme (ALU). omnidirectionnels. La distance inter-capteurs est notée ∆x. La dimension de l’antenne est très inférieure à la distance entre les sources et l’antenne et à la longueur d’onde des signaux reçus, ce qui permet d’approximer le front d’onde par un front d’onde plan. P sources émettent en direction de l’antenne avec P < Nx. L’angle d’incidence de l’onde issue de la p-ème source dans le plan de l’antenne est noté θp (voir figure 2.1).

Le but de l’algorithme MUSIC est de localiser les sources en estimant ces angles θp. Le signal reçu sur le premier capteur de l’antenne provenant de la p-ème source à un instant t est noté sp(t). Ces signaux sont modélisés par des variables aléatoires gaussiennes centrées, non corrélées. Le milieu de propagation étant supposé homogène, isotrope et la distance inter-capteurs étant constante, le retard du signal issu de la p-ème source entre deux capteurs consécutifs, noté τp, est constant.

A partir de la géométrie de l’antenne, ce retard peut être calculé : τp = ∆x sin θp vp , (2.1) où vp désigne la vitesse de l’onde issue de la p-ème source. La contribution de la p-ème source sur l’antenne est modélisée par un vecteur sp(t) ∈ C Nx : sp(t) =   sp(t) sp(t − τp) . . . sp(t − (Nx − 1)τp)   , (2.2) Le vecteur x(t) ∈ C Nx, qui contient la superposition des signaux reçus sur l’antenne à un instant t, est obtenu en sommant les contributions des P sources : x(t) = X P p=1 sp(t) + b(t), (2.3) où b(t) représente le bruit thermique affectant les capteurs. Il est modélisé par un vecteur aléatoire gaussien centré, spatialement et temporellement blanc, non corrélé avec les sources.unidimensionnel

Le problème se simplifie en appliquant la transformée de Fourier à l’équation (2.3) : x(ν) = X P p=1 sp(ν) + b(ν) (2.4) avec sp(ν) =   sp(ν) sp(ν)e −2iπτp . . . sp(ν)e −2iπ(Nx−1)τp   , (2.5) La fréquence est supposée constante, ν = ν0, afin de supprimer la dépendance en ν. En posant θp = 2πν0τp et a(θp) =   1 e −i2πν0 ∆x sin θp vp . . . e −i2π(Nx−1)ν0 ∆x sin θp vp   . (2.6) l’équation (2.4) s’écrit finalement : x = X P p=1 sp(ν0)a(θp) + b(ν), (2.7) où sp(ν0) désigne l’amplitude complexe de la p-ème source. La puissance de la p-ème source est notée σ 2 p = E[sp(ν0)sp(ν0) ∗ ].

La puissance du bruit est notée σ 2 , E[bbH] = σ 2 INx . Le vecteur a(θp), qui modélise la propagation du signal issu d’une source le long de l’antenne, est appelé steering vecteur. Le but de l’algorithme MUSIC est finalement d’estimer les paramètres θp, p = 1 . . . P, à partir d’observations du vecteur x.

Algorithme MUSIC vectoriel

D’après le modèle de signal donné par l’équation (2.7), le vecteur x est un vecteur aléatoire gaussien centré de matrice de covariance R : R = X P p=1 σ 2 pa(θp)a H(θp) + σ 2 INx , (2.8) avec σ 2 p = E[sps ∗ p ]. A partir de la matrice R, il est possible de construire une base du sous-espace orthogonal au sousespace signal. En effet, la matrice R peut être décomposée à l’aide de la SVD : R = UΣUH, (2.9) avec U = [u1, . . . , uNx ]. Une base du sous-espace orthogonal au sous-espace signal est obtenue en tronquant U : U0 = [uP +1, . . . , uNx ]. (2.10) 3

Il est alors possible de montrer que la matrice U0 vérifie l’égalité suivante ∀p = 1 . . . P : UH 0 a(θp) = 0. (2.11) L’algorithme MUSIC peut finalement être introduit à l’aide de cette propriété. En effet les paramètres θp peuvent être estimés en maximisant la fonction h(θ) : h(θ) = 1 aH(θ)Πa(θ) , (2.12) avec Π = U0UH 0 le projecteur orthogonal sur le sous-espace bruit. Le critère MUSIC s’écrit alors : ˆθp = arg max θ (h(θ)). (2.13)

Pour pouvoir utiliser ce critère, il est nécessaire de connaître le nombre de sources. De plus, en pratique, la matrice R n’est pas connue et doit être estimée. En disposant de K observations du vecteur x, notées x(k), la matrice R peut être estimée à l’aide de la SCM : Rˆ = 1 K X K k=1 x(k)x H(k). (2.14) Rˆ est ensuite décomposée avec la SVD : Rˆ = Uˆ Σˆ Vˆ H (2.15) La matrice Uˆ est alors tronquée en Uˆ 0 en ne conservant que les (Nx −1) dernières colonnes.

La version adaptative de MUSIC s’obtient finalement en remplaçant Π par son estimée Πˆ = Uˆ 0Uˆ H 0 : ˆθp = arg max θ 1 aH(θ)Πa ˆ (θ) ! . (2.16) Dans la suite, les performances de cet algorithme seront évaluées en calculant l’Erreur de Quadratique Moyenne (EQM) sur les paramètres θp : EQM( ˆθp) = E[(θp − ˆθp) 2 ]. (2.17) Ce critère sera également utilisé pour évaluer et comparer les performances des autres algorithmes MUSIC présentés dans ce chapitre. L’EQM peut être obtenue à partir de simulations de Monte-Carlo. Il est également possible de le calculer de manière théorique. Ce calcul est l’objet du paragraphe suivant.