Performances statistiques des estimateurs

Distribution asymptotique de la SCM et de l’estimateur FP 

Distribution asymptotique de la SCM

Les performances de la SCM sont parfaitement connues lorsque les données sont gaussiennes. La SCM est alors consistante et non biaisée. De plus elle suit une distribution de Wishart définie dans le premier chapitre (définition 1.3.1). Pour rappel, lorsque les données sont gaussiennes, sa distribution asymptotique qu’on trouvera dans des ouvrages tels que [8] s’écrit √ Nvec(McSCM − Λ) d −→ N 0m2,1 ,(Λ ⊗ Λ)(Im2 + K)  (3.1) dans le cas de données réelles et √ Nvec(McSCM − Λ) d −→ GCN 0m2,1 ,(Λ T ⊗ Λ),(Λ T ⊗ Λ)K  (3.2) dans le cas de données complexes.

Distribution asymptotique de l’estimateur FP

Les performances asymptotiques de l’estimateur FP ont été étudiées par Tyler dans [85], dans le cas de données à distributions réelles elliptiques. Plus récemment, F. Pascal a obtenu dans [70] leur expression dans le cas de distributions elliptiques complexes. On considère N vecteurs zn aléatoires réels (resp. complexes), i.i.d., elliptiques (resp. complexes elliptiques) de moyenne nulle et de matrice de covariance Λ.

La distribution asymptotique de l’estimateur FP s’écrit dans le cas réel : √ Nvec(McF P − Λ) d −→ N ! 0m2,1 , m + 2 m  » (Λ ⊗ Λ)(Im2 + K) + 2 m vec(Λ)vec(Λ) T #$ , (3.3) 69 Performances statistiques des estimateurs  et dans le cas complexe : √ Nvec(McF P − Λ) d −→ GCN 0m2,1 , Σ, Ω  (3.4) avec    Σ = m + 1 m  » (ΛT ⊗ Λ) − 1 m vec(Λ)vec(Λ) H # Ω = m + 1 m  » (ΛT ⊗ Λ)K − 1 m vec(Λ)vec(Λ) T # (3.5)

Remarque 3.1.1 La distribution asymptotique de l’estimateur FP ne dépend absolument pas de la distribution des données, du moment qu’elles sont elliptiques (ou elliptiques complexes), c’est pourquoi cet estimateur est parfois appelé le « distribution-free M-estimator », par comparaison aux M-estimateurs qui, comme nous le verrons dans la section suivante ont une distribution asymptotique dépendant de la distribution elliptique considérée.

Distribution asymptotique des M-estimateurs 

Distribution asymptotique des M-estimateurs réels

On considère N vecteurs zn aléatoires réels i.i.d., elliptiques (resp. complexes elliptiques) de moyenne nulle et de matrice de dispersion Λ. Soit McM le M-estimateur réel vérifiant l’équation (2.4) et les conditions de Maronna [57], données dans le chapitre 2. On note également MM la solution de l’équation (2.5). La distribution asymptotique de McM est donnée par Tyler dans [83] :

√ Nvec(McM − MM) d −→ N (0m,1, Π), (3.6) où Π = σ1(Im2 + K)(M ⊗ M) + σ2vec(M)vec(M) T , (3.7) σ1 et σ2 étant des scalaires donnés dans [83] et rappelés ici : σ1 = a1(m + 2)2 (2a2 + m) −2 , σ2 = a −2 2  (a1 − 1) − 2a1(a2 − 1) [m + (m + 4)a2] (2a2 + m) −2 , (3.8) avec a1 = [m(m + 2)]−1 E  ψ 2 (σ|z| 2 )  , a2 = m−1 E[σ|z| 2ψ ′ (σ|z| 2 )]. Pour rappel, ψ(s) = s u(s), σ est le même que dans l’équation (2.6). Plus précisément, σ est la solution de E[ψ(σ|z| 2 )] = m, dans lequel z ∼ E(0m,1, Im). D’où la remarque 3.1.1. 

Distribution asymptotique des M-estimateurs complexes Soit (z1, …, zN ) un N-échantillon de vecteurs complexes indépendants de dimension m, tel que zn ∼ CE(0m,1, Λ) , n = 1, …, N. On considère le M-estimateur complexe McC qui vérifie l’équation (2.4) et on note MC la solution de (2.5).

est donnée par √ Nvec(McC − MC) d −→ GCN 0m2,1 , Σ, Ω  , (3.9) où Σ et Ω sont définis par Σ = σ1MT C ⊗ MC + σ2vec(MC)vec(MC) H, Ω = σ1(MT C ⊗ MC)K + σ2vec(MC)vec(MC) T , (3.10) avec  σ1 = a1(m + 1)2 (a2 + m) −2 , σ2 = a −2 2  (a1 − 1) − 2a1(a2 − 1) [2m + (2m + 4)a2] (2a2 + 2m) −2 , (3.11) et  a1 = [m(m + 1)]−1 E  ψ 2 (σ|t| 2 )  , a2 = m−1 E[σ|t| 2ψ ′ (σ|t| 2 )], (3.12) ψ(s) = su(s), t ∼ CE(0m,1, Im) et σ est la solution de E[ψ(σ|t| 2 )] = m où t ∼ CE(0m,1, Im, hz). Ce résultat est en cours de publication [52].

Preuve 3.2.1 Notations Il est d’abord nécessaire d’introduire la fonction suivante, qui transforme une matrice hermitienne A de taille m × m en matrice symétrique réelle de taille 2m × 2m : f(A) = 1 2  Re(A) −Im(A) Im(A) Re(A)  . (3.13) La transformation inverse est donnée par : A = g Hf(A)g (3.14) avec g =  Im −jIm  . La fonction f a de plus, quelques propriétés très intéressantes (voir l’annexe A pour les preuves). Posons un et vn les vecteurs de taille 2m qui vérifient : un = (Re(zn) T , Im(zn) T ) T vn = (−Im(zn) T , Re(zn) T ) .