Paroi tricouche

Description de la paroi L

exemple traité ici est une structure tricouche en conduction unidimensionnelle. Cet exemple est volontairement simple (dans un but pédagogique). H servira en effet à illustrer les étapes importantes de la méthode de réduction par amalgame modal. La paroi traitée est une structure symétrique et composée de trois couches: béton-isolantbéton. Deux lames d’air de lmm d’épaisseur chacune, sont introduites de part et d’autre de l’isolant. Ceci permet de tenir compte – de façon approximative – de l’air enfermé dans les aspérités de l’isolant (Polystyrène) en contact avec le béton. La figure 4.1 illustre la paroi tandis que le tableau 4.1 donne les paramètres thermophysiques de chaque couche homogène. Les coefficients d’échange globaux1 sont fixés à: hg — SWm~l K~l et hj = 18Wm- 1 ii~1 . Ces valeurs sont à peu près celles recommandées par le CSTB2 pour des murs extérieurs d’une enveloppe de bâtiment. Le modèle d’état modal de référence est obtenu à partir du logiciel MurAna3 [54]. Il repose ici sur 250 éléments propres. La constante de temps principale est ri=7h 42mn 40.98s. La dernière constante de temps calculée est r25o=0.13s, ce qui autorise des simulations précises à partir de t = 1s (4 à 5 fois T2so). Une fois les fonctions propres connues analytiquement, il est possible de calculer leurs valeurs en des points quelconques de la structxire, ce qui permet aussi de travailler sur un maiîlage non uniforme. Nous avons alors opéré un échantillonnage de trois nœuds par centimètre, ce qui revient à prendre 57 nœuds pour l’ensemble de la paroi (la paroi a une épaisseur totale de 28cm). Les sollicitations agissant sur la structure sont au nombre de deux: températures des ambiances côté gauche et droit. Les sorties de notre modèle sont toutes les températures aux nœuds considérés (au total 57 nœuds). Les résultats qui suivent ont été obtenus pour les conditions suivantes: • Transferts conductifs unidimensionnels dans la paroi. • Plage temporelle Vt — [0, ooj. • Sollicitations de type échelon. • Champ de température initial nul.

Le s sous-espace s d’amalgame

La réduction du modèle d’état modal de la paroi tricouche est ici développée. Nous appliquons l’algorithme de réduction présenté au §3.5 en imposant simplement la dimension du modèle réduit n = 5. Pour cette dimension, on obtient les valeurs de M et M suivantes mesure de l’erreur M. (J °C s) 8639.63 erreur M (°C) 3.07 10~4 Les sous-espaces d’amalgames issus de la méthode d’amalgame sont donnés dans le tableau 4.3. Les modes principaux des différents sous-espaces sont encadrés [•]. Les modes principaux d’amalgame ne sont pas ceux de la. troncature de Marshall. En effet, le cinquième mode principal est le mode sept. Notons que pour cet exemple, on obtient trois sous-espaces d’amalgame monodimensionnels: les sous-espaces 1,2 et 4. La plupart des modes mineurs sont affectés dans le dernier sous-espace d’amalgame. Remarque: Dans le cadre de l’étude thermique des enveloppes de bâtiments, Lefebvre [41] tronque le modèle modal puis corrige le dernier élément propre grâce à une information récupérée sur les modes négligés. Le dernier sous-espace d’amalgame obtenu pour notre paroi tricouche regroupe la plupart des modes mineurs.Le s mode s amalgamé s Pour avoir une illustration simple, intéressons-nous seulement au troisième sous-espace d’amalgame qui se compose du mode principal ¡_3J et du mode mineur 6. A partir de ce sous-espace, nous allons générer le troisième mode amalgamé V^{M) défini par (voir §3.3.3) %{M) = W3(1)V3(M) + u3(2)V6(M) Les coefficients 0(3(1) et 013(2) qui réalisent le minimum de la fonctionnelle Ad 3 sont w3(l) = 1 o>3(2) = 0.087 4.2. Réduction modaJe 79 Le coefficient 0*3(2) étant faible, le mode mineur V6(M) apporte peu d’information thermique au mode principal V3(M). L’interprétation géométrique du mode amalgamé V%(M) est donnée dans figure 4.2. On remarquera que le mode principal est peu modifié. En revanche, le dernier sous-espace d’amalgame est de dimension 245. Le mode principal Vj(M) récupère une information thermique de 244 modes mineurs. Voyons si ce mode principal est modifié de façon notable ou non. Pour cela, nous traçons dans la figure 4.3 le mode principal Vj{M) et le mode amalgamé V$(M) issu du cinquième sous-espace d’amalgame. La différence entre les deux modes est particulièrement importante dans la couche d’isolant. La correction apportée par l’amalgame modal dans le dernier sous-espace concerne donc l’isolant. En examinant le mode mineur 5 qui est donné dans la figure 4.4, on s’aperçoit qu’il a une amplitude importante dans l’isolant et il est difficile de le négliger complètement. Le coefficient u*,(2) associé au mode mineur V$(AÍ) est égal à 0.35 et est justement le plus grand parmi uj5(ni) m = 2 – • -245. La forme de chaque mode amalgamé permet de déduire globalement son rôle dans le modèle réduit. Examinons les modes amalgamés dans l’ordre: • le premier mode amalgamé est principalement localisé dans la couche de béton du côté gauche de la paroi. Il est donc important pour la dynamique de cette couche. Son tracé est donné dans la figure 4.5. • Le mode amalgamé V »2(M) est approximativement le symétrique (au signe près) de V\(M) et il concerne la dynamique de la couche de béton du côté droit de paroi. Son tracé est donné dans la figure 4.5. • Le troisième mode amalgamé Va(M) est réparti entre la couche de béton côté gauche et l’isolant. Ce mode intervient vraisemblablement pour assurer le « lien thermique » (ou continuité thermique) entre ces deux couches. Son tracé est donné dans la figure 4.2. • Le mode amalgamé V\{M) peut aussi être considéré (au signe près) comme le symétrique de V3(M) . De façon similaire, ce mode assure le lien thermique entre la couche du béton côté droit et l’isolant. Son tracé est donné dans la figure 4.5. • Le dernier mode amalgamé est principalement localisé dans la centre de la paroi. L’opération d’amalgame modal dans le dernier sous-espace a donc eu pour effet de représenter l’isolant. Son tracé est donné dans la figure 4.3.