Outil d’analyse de l’engrènement

Outil d’analyse de l’engrènement

Principe de la simulation d’engrènement-Modèles de comportement

L’objectif de la simulation d’engrènement est de déterminer une estimation de la position angulaire d’une roue pour un ensemble fini ou non de positions angulaires de l’autre roue, les paramètres de l’ellipse de contact (orientation et position et taille en utilisant le modèle d’Hertz par exemple), le(s) point(s) de contact, … Dans le cas d’engrènement quasi statique et sans charge, la simulation d’engrènement revient à chercher l’angle de rotation de la roue en fonction de l’angle de rotation du pignon par exemple, de telle manière à ce qu’il y ait contact entre deux dents qui engrènent (Figure 2-2 ). Simuler l’engrènement sans charge Variations géométriques Géométrie nominale Estimation de l’erreur cinématique Modèles et outils d’analyse des variabilités en phase de conception des produits à denture 26 Figure 2-2- Principe de la simulation d’engrènement Il existe plusieurs modèles de comportements cinématiques sans charge qui peuvent s’appuyer sur une modélisation en deux dimensions ou trois dimensions. La section suivante en expose une liste non exhaustive (Figure 2-3). Figure 2-3 – Position de la section 2.2 dans la simulation de l’engrènement sans charge 

Modèles de comportement cinématique 2D

La modélisation 2D du comportement cinématique repose sur l’hypothèse suivante : les contacts entre profils conjugués se font relativement proches du plan simultanément tangent aux cylindres de base du pignon et de la roue appelé plan d’action dans le cas des engrenages cylindriques à denture droite à profils développante de cercle [Velex 1995] (Figure 2-4 ). Point de contact Angles de rotation Axes de rotation des corps Surfaces de substitution Simuler l’engrènement sans charge Variations géométriques Géométrie nominale Estimation de l’erreur cinématique Modèles et outils d’analyse des variabilités en phase de conception des produits à denture 27 Figure 2-4- Point de contact et droite d’action dans un plan normal aux axes de rotation La présence de variations géométriques (les écarts de forme des dents, les écarts d’orientation et de position) engendre des écarts entre les deux profils. L’écart total en un point Mi du pignon et de la roue est noté e(Mi) (dans la direction normale au plan d’action). (Figure 2-5 ). Figure 2-5 – Ecart total dans le plan d’action (denture droite) Il est explicité par la formule : i p i r i m i x i e(M ) = ef (M )+ ef (M )+ e (M )+ e (M ) (2.1) Rb1 R1 Rb2 R2  Point de contact théorique Modèles et outils d’analyse des variabilités en phase de conception des produits à denture 28 Avec :  efr(Mi) : écart de forme de la roue au point Mi normal à la ligne de contact théorique dans le plan d’action.  efp(Mi) : écart de forme du pignon au point Mi normal à la ligne de contact théorique dans le plan d’action.  em(Mi) : écart de montage au point Mi normal à la ligne de contact théorique dans le plan d’action.  ex(Mi) : écart d’excentration au point Mi normal à la ligne de contact théorique dans le plan d’action. Considérons un point de contact M* dans le plan d’action entre les deux dents rigides du pignon et de la roue. Notons * n la normale commune aux deux surfaces en contact en M* , orientée suivant le coté extérieur matière au pignon. Dans le cas de mouvement de corps rigides on a : Si la vitesse de rotation d’entrée est 1 , dans le cas des engrenages cylindriques la vitesse de sortie 2 obéit à :         Avec :   1 si le pignon tourne dans le sens trigonométrique, -1 sinon.  b l’angle d’hélice de base, Rbi le rayon de base de l’élément i. Le second terme de cette équation représente les variations angulaires du solide 2 dues aux écarts géométriques et l’erreur cinématique qui dans ce cas est l’erreur de transmission sans charge.

Modèles de comportement cinématique 3D Tooth Contact Analysis

Ce modèle appelé TCA a été développé par la société américaine « The Gleason Work » afin de mieux connaître le contact entre les dents de roues spiro-coniques et hypoïdes. Faydor F. Litvin [Litvin 1986], [Litvin 1992] a développé cette technique et l’utilise pour la conception de roues dentées. Ce modèle trouve son application dans différentes utilisations comme par exemple l’analyse de l’influence des corrections apportées aux surfaces actives sur la sensibilité de l’erreur cinématique aux défauts d’orientation et de position [Litvin 2000], la conception d’engrenages spiro-coniques, l’influence de défauts géométriques de l’engrenage et de montage sur l’erreur cinématique, l’estimation du point de contact entre denture en vue d’une analyse de l’engrènement sous charges (connaissance du point d’application des efforts dans un modèle Modèles et outils d’analyse des variabilités en phase de conception des produits à denture 32 éléments fini, étude de la tâche de contact,..), l’influence des variations des paramètres de l’outil générateur sur l’erreur cinématique, etc.. TCA est basé sur la tangence des surfaces aux points de contact. L’estimation de l’angle de rotation de la roue repose sur la recherche d’un point de contact régulier. Cette configuration se traduit mathématiquement par deux conditions qui décrivent le contact :  Il y a contact, donc égalité des surfaces au point de contact (condition 1).  Il existe un plan tangent commun aux surfaces au point de contact (condition 2). Cette modélisation du comportement cinématique en 3D requiert une représentation paramétrique des surfaces actives de toutes les dents du pignon et de la roue qui doit être exprimée dans un même repère. Ainsi la configuration d’un point de contact régulier, c’est-à-dire que les dérivées partielles de la surface par rapport à ses paramètres descripteurs existent, est traduite par le système suivant :  Avec :  ( ), i j f s les coordonnées d’un point courant de la j-ième surface du corps i exprimé dans le repère Rf  ( ), i j f n la normale unitaire d’un point courant de la j-ième surface du corps i exprimée dans le repère f.  i u et i v sont les paramètres descripteurs des surfaces du corps i et i l’angle de rotation (en radians) du corps i autour de son axe.  Les domaines D1 et D 2 dépendant de l’équation des surfaces considérées. D 3 peut être pris égal à R. La première équation du système (2.7) traduit la condition 1, la seconde la condition 2.