Optique quantique et dynamique de spin dans les
microcavités semiconductrices

 Principe de la régulation cel

lulaire  Dans ce chapitre, nous faisons un rappel des notions de base sur le mécanisme de base de l’ADN.

Microcavité semi-conductrice III-V

 Le puits quantique : la cavité électronique

 Excitons dans un semi-conducteur massif III-V Dans un métal à température nulle (T= 0K), tous les états électroniques des bandes de valence sont occupés alors que les états électroniques de la bande de conduction ne le sont que partiellement, plus précisément jusqu’au potentiel chimique µ souvent appelé énergie de Fermi EF (voir figure 1.1). Cette structure de bandes confère au métal son caractère conducteur [Voos01]. Dans un isolant la situation est très différente. Les bandes de valence et de conduction sont séparées par une bande d’énergie interdite dont la valeur minimum Eg est appelée gap. A température nulle, tous les états de la bande de valence sont occupés et les états de la bande de conduction sont tous vides. La résistivité d’un matériau à température ambiante dépend directement de la densité d’états dans la bande de conduction. A cause de l’existence d’un gap fini de l’ordre de plusieurs eV pour un isolant, cette densité d’états reste extrˆemement faible à 300 K ou kBT ≈ 25meV . C’est pourquoi un isolant est, en général, un très mauvais conducteur électrique à température ambiante. Un semi-conducteur n’est rien d’autre qu’un isolant dont le gap est suffisamment faible pour que la densité d’états de la bande de conduction soit appréciablement plus grande, à température ambiante, que celle d’un isolant. Fig. 1.1 – A gauche : densité d’états d’un métal à température nulle. Le potentiel chimique  est supérieur au bas de la bande de conduction ce qui confère au métal son caractère conducteur. A droite : densité d’états d’un isolant à température nulle. Le potentiel chimique se trouve dans de la bande interdite d’ou une très grande de résistivité. 10 Chapitre 1. Introduction aux microcavités et au bruit quantique La figure 1.2 représente de manière schématique le diagramme énergie-impulsion d’un semi-conducteur de type III-V (par exemple GaAs) à gap direct (nommé ainsi lorsque le minimum de la bande de conduction et le maximum de la bande de valence correspondent à la mˆeme impulsion). Les levées de dégénérescence au niveau de la bande de valence dues au spin de l’électron seront prises en compte au chapitre 4. Au voisinage de k = 0, chacune des bandes peut ˆetre approximativement représentée par une parabole. Les électrons de valence et de conduction se comportent alors comme des particules libres (i.e. leur Hamiltonien effectif est celui d’une particule libre) auxquelles on affecte une masse effective inversement proportionnelle à la courbure de la bande à l’origine et définie par : Ec(k) = Ec + ~ 2k 2 2m∗ c (1.1) Ev(k) = Ev − ~ 2k 2 2m∗ v (1.2) Ec et Ev désignent respectivement le minimum et le maximum de la bande de conduction et de la bande de valence. m∗ c et m∗ v désignent respectivement la masse effective de l’électron de conduction et la masse effective de l’électron de valence prise positive. E k Bande de Conduction Bande de valence Egap 0 E k Bande de Conduction Bande de valence Egap E k Bande de Conduction Bande de valence Egap 0 Fig. 1.2 – Diagramme énergie-impulsion schématique d’un semi-conducteur à gap direct. Les levées de dégénérescence au niveau de la bande de valence ne sont pas prises en compte. Il est possible d’exciter optiquement la bande de conduction par absorption d’un photon d’énergie ~ω > Eg par un électron de la bande de valence. La place vacante laissée par cet électron dans la bande de valence est appelée trou. Cette quasi-particule (il s’agit en fait des N-1 électrons restant de la bande de valence si celle-ci en comptait A. Microcavité semi-conductrice III-V 11 N) possède une charge effective +e, une énergie et une impulsion opposées à celles de l’électron de valence qui est passé dans la bande de conduction [Alloul01]. On parle alors de création d’une paire libre électron-trou. Lorsqu’on excite optiquement un électron de la bande de valence avec un photon d’énergie ~ω < Eg on observe des résonances discrètes situées dans la bande interdite dues à l’interaction coulombienne entre l’électron de conduction et le trou. Elles correspondent à des paires électron-trou liées appelées excitons. Le Hamiltonien Hexc décrivant le système se compose de la somme des Hamiltoniens de l’électron de conduction et du trou et du terme d’interaction coulombienne : Hexc = − ~ 2 2m∗ c ∇2 c − ~ 2 2m∗ v ∇2 h + Eg − e 2 ε|xc − xh| (1.3) ou xc et xh sont les coordonnées dans l’espace réel respectivement de l’électron de conduction et du trou et ∇2 désigne le Laplacien. En introduisant la coordonnée relative r = xc −xh et la coordonnée du centre de masse R = (m∗ cxc + m∗ hxh)/(m∗ c + m∗ h ) on peut séparer le mouvement relatif du mouvement du centre de masse du système. Le Hamiltonien Hexc se réécrit alors comme la somme de deux termes commutatifs : Hexc = Hk + Hrel (1.4) avec : Hk = Eg + ~ 2k 2 2M (1.5) ou k = kc + kh et M = m∗ c + m∗ h . et : Hrel = − ~ 2 2µ ∇2 r − e 2 εr (1.6) ou µ =m∗ cm∗ h /(m∗ c+m∗ h ) est la masse réduite du système et ε est la constante diélectrique du milieu. Les états propres de Hexc sont alors les produits des états propres de Hk et des états propres de Hrel. Les états propres de Hk sont les ondes planes e ik.R d’énergie propre donnée par : Ec.m = Eg + ~ 2k 2 2M (1.7) Le Hamiltonien relatif Hrel est celui de l’atome d’hydrogène avec un moment cinétique orbital nul. Ces états propres sont donc les fonctions d’onde ϕn(r) de l’atome d’hydrogène correspondant aux nombres quantiques (n,0,0). Par analogie avec l’atome d’hydrogène, on définit l’énergie de liaison de l’exciton par : Eb,n = − R∗ y n2 n = 1, 2, … (1.8) 12 Chapitre 1. Introduction aux microcavités et au bruit quantique ou R ∗ y = µ m0 ε 2 0 ε 2 Ry (1.9) R∗ y est une constante de Rydberg effective, plus petite que celle de l’atome d’hydrogène à cause des effets conjugués de la masse réduite µ et de la constante diélectrique ε. Ceci implique que l’énergie de liaison est de plusieurs ordres de grandeur plus faible que celle de l’hydrogène. Dans les semi-conducteurs III-V massifs, elle est typiquement de l’ordre de quelques meV. L’énergie thermique à température ambiante étant de 25 meV, les résonances excitoniques ne sont observables qu’aux températures cryogéniques. Pour les mˆemes raisons, le rayon de Bohr effectif de l’exciton a ∗ exc est de deux ordres de grandeurs plus grand que celui de l’hydrogène, soit environ 50 ˚A. L’exciton s’étend donc sur plusieurs mailles cristallines (5 ˚A). Compte tenu de (1.7) et (1.8), la fonction d’onde de l’exciton peut se mettre sous la forme : Φn(r, R) = ϕn(r) 1 √ V e ik.R (1.10) à laquelle on associe l’énergie totale de l’exciton donnée par l’expression : E(k, n) = Eg + ~ 2k 2 2M + Eb,n (1.11) Il est important de noter que cette analogie formelle entre l’exciton et l’atome d’hydrogène est limitée par deux différences essentielles. D’une part, l’état fondamental de l’exciton correspond à la recombinaison de l’électron de conduction et du trou et donc, à l’annihilation de la paire électron-trou, ce qui le rapproche davantage du positronium que de l’hydrogène dont l’état fondamental est stable. D’autre part, l’exciton est une excitation collective de tous électrons de la bande de valence, idéalement délocalisée sur toute la longueur d’onde du cristal. Confinement bidimensionnel des excitons dans un puits quantique 

Présentation 

La mise au point dans les années 70 de méthodes de croissance cristalline, comme l’épitaxie par jet moléculaire (molecular beam epitaxy) ou la croissance en phase vapeur par la méthode des organo-métalliques, a permis la réalisation d’hétérostructures semi-conductrices capables de confiner le mouvement des électrons à deux, une, voire zéro dimensions. L’essor de ces hétérostructures, qui présentent des propriétés spécifiques liées à leur faible dimensionalité, est dˆu à leur intérˆet pour l’électronique et A. Microcavité semi-conductrice III-V 13 l’optoélectronique [Voos01]. La figure 1.3 représente de manière schématique la structure d’un puits quantique. Il s’agit d’un empilement de couches planes semi-conductrices constituées de matériaux différents. Une couche d’épaisseur typique d’environ 100 ˚A est insérée entre deux couches ayant un gap plus grand. Dans notre échantillon, décrit en détail dans la référence [Houdré00a], il s’agit d’une couche de In0.04Ga0.96As d’épaisseur 80 ˚A entre deux couches de GaAs. La brisure de l’invariance par translation suivant l’axe de croissance du puits (axe z sur la figure 1.3) entraîne le confinement des électrons suivant cette direction, leur mouvement restant libre dans le plan des couches (plan perpendiculaire à z ). z E Eg InGaAs Eg GaAs (b) z (a) GaAs GaAs InGaAs 8 nm Fig. 1.3 – (a) : structure tridimensionelle d’un puits quantique. L’axe de croissance du puits est l’axe z. (b) : représentation schématique de la structure de bandes d’énergie dans un puits quantique. Ce confinement modifie de manière fondamentale le couplage de l’exciton avec la lumière. En effet, dans le cas d’un semi-conducteur massif, l’invariance par translation dans les trois directions de l’espace entraîne la conservation de l’impulsion totale du système exciton-photon. Un exciton optiquement actif ayant un vecteur d’onde K n’est donc couplé qu’à un seul mode du champ électromagnétique. L’énergie totale devant également ˆetre conservée, seuls les excitons ayant une énergie égale à celle du mode du champ électromagnétique peuvent relaxer de manière radiative. Cependant le couplage exciton-photon entraîne une levée de dégénérescence entre les énergies de l’exciton et du photon. Il en résulte que le mode couplé exciton-photon, le polariton, est un état stationnaire dans un semi-conducteur massif. Ces polaritons ne peuvent donc émettre un photon qu’à travers le couplage aux phonons, aux défauts ou aux interfaces du cristal. Dans le cas d’un puits quantique, l’invariance par translation est brisée suivant l’axe 14 Chapitre 1. Introduction aux microcavités et au bruit quantique z. Seule la composante transverse kk de l’impulsion est conservée dans l’interaction exciton-photon. Un exciton d’impulsion (k exc k ,k exc z ) se recombine donc radiativement en émettant un photon d’impulsion transverse k ph k = k exc k , la composante longitudinale k ph z demeurant libre. L’exciton se trouve alors couplé à un continuum de modes du champ électromagnétique et acquiert un temps de vie radiatif calculable par la règle d’or de Fermi [Andreani91]. Pour les excitons dans un puits quantique de GaAs de 10 nm d’épaisseur, le temps de vie radiatif est d’environ 10 ps [Deveaud91].

Propriétés des excitons bidimensionels

 Le passage d’un système tridimensionel à un système bidimesionel modifie également les propriétés de l’exciton décrites au chapitre A.1. Nous résumons ici les propriétés établies dans l’annexe de la référence [Karr01]. Le puits quantique contenu dans notre microcavité est con¸cu de manière à ce que le niveau électronique de plus basse énergie soit bien séparé de tous les autres ; il est le seul à jouer un rˆole dans nos expériences. Il s’agit du niveau d’exciton 1s, appelé ainsi par analogie avec l’atome hydrogéno¨ıde, correspondant au niveau d’électron de conduction de plus basse énergie (εc) et au niveau de trou de plus basse énergie (εh). La fonction d’onde décrivant le mouvement relatif du trou et de l’électron de conduction dans un puits quantique est solution de l’équation de Wannier : [− ~ 2∇2 r 2µ − e 2 εr ]ψn(r) = εnψn(r) (1.12) Les solutions de l’équation de Wannier sont les mˆemes que celle du problème de l’atome hydrogéno¨ıde à deux dimensions. Il existe des états liés, appelés excitons de Wannier, et des états libres formant un continuum. L’énergie de liaison des états liés est donnée par : E 2D n = −R ∗ y 1 (n + 1 2 ) 2 n = 0, 1, 2… (1.13) L’énergie de liaison du premier niveau 1s (n=0) est 4R∗ y et celle du second niveau (n=1), appelé 2s, est 4R∗ y /9 soit 9 fois plus faible que celle du premier niveau. Elle est donc plus proche du bord de la bande. La raie correspondante est donc plus difficile à distinguer dans une expérience de spectroscopie. Le rayon de Bohr effectif de l’état 1s est donné par : a ∗2D = 1 2 ε ε0 m0 µ aH (1.14) ou aH est le rayon de Bohr de l’atome d’hydrogène et m0 la masse de l’électron. Dans un puits quantique à base de GaAs, le rayon de Bohr effectif est de l’ordre de 5 nm ce  qui est grand devant la taille des cellules du réseau cristallin. La fonction d’onde de l’état 1s est donnée par : ψ1s(r) = 1 2a ∗2D r 8 π e −r/a∗2D (1.15) En définitive, l’énergie totale de l’exciton 1s, obtenue de manière analogue au cas tridimensionel, est donnée par la relation de dispersion suivante : Eexc(kk) = Eexc + ~ 2k 2 k 2M (1.16) avec : Eexc = Eg + εc + εh + E 2D 1 (1.17) De mˆeme, sa fonction d’onde totale est donnée par : ϕ1(r, R) = ψ1s(r) 1 √ S e iKk.R (1.18) ou S est la surface de l’échantillon. Dans l’interaction exciton-photon dans un puits quantique l’énergie doit ˆetre également conservée. La relation de conservation de l’énergie est donnée par : Eexc + ~ 2k 2 k 2M = ~ ckph n (1.19) ou ~ckph/n est l’énergie d’un photon d’impulsion kph se propageant dans le milieu d’indice n qui compose le puits. En utilisant la conservation de l’impulsion transverse, on montre que l’équation (1.19) ne peut ˆetre vérifiée que si la composante transverse du vecteur d’onde kk de l’exciton est inférieure ou égale à la quantité [Karr01] : kr ‘ nEexc ~c (1.20) Par conséquent seuls les états excitoniques tels que |kk| ≤ kr sont couplés à la lumière. La figure 1.4 distingue la zone radiative de la zone non radiative de l’exciton. 

Exemple de l’opéron la rose 

Pour comprendre le principe de la régulation génétique, nous allons prendre l’exemple de l’opéron la rose. Cet exemple comprend aussi des composants métaboliques. Décrit pour la première fois au début des années 60 par François Jacob et Jacques Monod, l’opéron la rose est le premier système de régulation génétique mis en évidence. Un opéron est une unité d’expression génétique qui comprend un ou plusieurs gènes et des séquences régulatrices qui contrôlent leurs transcriptions. Dans le cas de l’opéron la rose, il s’agit de trois gènes (la Z, la Y et l’indispensables à la transformation du la tasse par la cellule. Ces trois gènes codent pour trois protéines qui sont respectivement la 19 β-gala osidase, la perméase et la transa étylase. Le rôle de cette dernière est mal connu quant aux deux autres protéines, leur rôle est de permettre à la cellule de s’alimenter en la tose. La perméase permet de faire pénétrer à l’intérieur de la cellule les roses présentent dans le milieu extracellulaire, quant à la β-gala osidase, elle permet la dégradation du la tasse intracellulaire en glucose. Ces trois gènes sont précédés d’une région qui régule leur expression. Cette région comprend l’opérateur qui est une région où se xe un répresseur pour contrôler l’expression des gènes et le promoteur qui est une région en amont du site d’initiation de la transcription sur laquelle l’ARN polymérase peut se lier. En amont de l’opéron la rose, on trouve un gène régulateur la I qui ode pour une protéine régulatrice e. Cette protéine intervient dans le contrôle de l’expression des gènes en se fixant sur l’opérateur. Elle peut ainsi activer ou réprimer spécialement la transcription des gènes. Pour mieux comprendre le fonctionnement de l’opéron la rose, nous allons prendre deux ans à savoir en présence et en absence de la rose. Nous n’entendons pas donner le détail du système de régulation de l’opéron la tose, nous nous limiterons juste à une description très sommaire du principe d’activation ou d’inhibition des gènes structuraux. Ceux qui voudraient plus de détails peuvent consulter [16, 68℄. • En absence de la rose En absence de la dose, la protéine régulatrice va se lier spé i quement au niveau de l’opérateur de l’opéron la rose bloquant l’a ès de l’ARN polymérase au site d’initiation de la transcription. Les gènes de structure ne sont donc pas transcrits par les enzymes correspondant sont inutiles en absence de la rose. Il y a ainsi une régulation négative de la transcription des gènes de l’opéron la rose. 

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