Optique de Fourier des ondes de surface

L’optique géométrique traite le champ électromagnétique en termes de rayons lumineux, d’objets et d’images, éventuellement ponctuels. Dans le cadre plus général des équations de Maxwell, on montre que l’image d’un point, après avoir traversé un système optique, ne peut être rigoureusement ponctuelle. Avec des ondes progressives, on ne peut concentrer l’énergie électromagnétique dans des volumes de dimensions inférieures à λ/2. Réciproquement, on ne peut observer via ces ondes progressives de détails de dimensions inférieures à λ/2. Cela a pour conséquence notamment de limiter la résolution de la microscopie classique avec de la lumière visible à quelques centaines de nanomètres (R et al. 2005a). Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, les ondes de surface ont la particularité de posséder des vecteurs d’ondes « hors du cône de lumière », et donc des longueurs d’ondes inférieures à celles des ondes progressives. Cette propriété peut être exploitée afin de focaliser l’énergie électromagnétique dans des volumes dont au moins l’une des dimensions est plus faible que λ/2 – la limite est désormais λsp/2, où λsp est la longueur d’onde des ondes de surface. Il y a donc un grand intérêt à revisiter les principes de l’optique en exploitant cette propriété des ondes de surface. Ce chapitre se propose de donner un cadre théorique à l’optique de Fourier et l’optique géométrique des ondes de surface. Ainsi, de nombreuses expériences ont démontré la possibilité de focaliser les ondes de surface à l’aide d’une lentille zonée de Fresnel pour les ondes de surface (F et al. 2007) ou à l’aide de diffuseurs à proximité d’une surface disposés en arc-de-cercle (E et al. 2007 ; H et al. 2008). Plusieurs groupes ont démontré la possibilité de réaliser des composants optiques passifs pour les ondes de surface (tels que des lentilles ou des miroirs paraboliques (H et al. 2005 ; F et al. 2007), ainsi que des composants plus originaux de l’optique transformationnelle tels que les lentilles de Lüneburg et de Eaton (Z et al. 2011)). Z et al. (2005) passent en revue de nombreux travaux portant notamment sur la réìexion et la diffusion d’ondes de surface. Il est à noter que d’autres outils peuvent être utilisés pour concentrer l’énergie électromagnétique dans des volumes sub-longueur d’onde, notamment les plasmons et phonons de surface localisés (S et al. 2010) ou encore le retournement temporel en milieu diffusant (L et al. 2007 ; C et al. 2007). Afin de modéliser des résultats d’optique à l’aide d’ondes de surface plus simplement qu’en traitant le champ électromagnétique dans tout l’espace, certains groupes ont transposé le principe d’Huygens-Fresnel aux ondes de surface, en traitant ces dernières comme une onde scalaire (L et al. 2007 ; K et al. 2008 ; Z et B 2007 ; H et al. 2008). D’autres groupes ont utilisé une expression approchée du champ vectoriel des ondes de surface (C et al. 2005 ; Y et al. 2005). Il est à noter que la connaissance du champ électromagnétique complet des ondes de surface est également importante en microscopie de champ proche, où la grandeur cartographiée dépend de la sonde utilisée (V L et B 1993 ; P et al. 2000). Dans ce chapitre, partant des équations de Maxwell, nous allons établir rigoureusement plusieurs outils pour décrire la propagation des ondes de surface, tenant compte du caractère vectoriel de leur champ : nous allons montrer que le champ des ondes de surface satisfait une équation de Helmholtz « 2D », nous allons également établir un principe d’Huygens-Fresnel pour les ondes de surface (sous forme d’une équation intégrale de Helmholtz et Kirchhoff, voir B et W 1999). Ceci permettra de jeter les bases rigoureuses d’une optique de Fourier des ondes de surface. Enfin, nous verrons ensuite comment écrire une équation eikonale pour les ondes de surface décrivant leur propagation dans une limite « géométrique », analogue à la limite de l’optique géométrique pour les ondes électromagnétiques usuelles. Certains de ces résultats, concernant le propagateur de Fourier et le principe d’Huygens-Fresnel pour les ondes de surface, ont été publiés dans (A et al. 2009) et (T et al. 2009) respectivement.

Équation de Helmholtz pour les ondes de surface

Dans cette section, nous allons établir une équation de Helmholtz pour les ondes de surface. Dans les sections suivantes, nous établirons un principe d’Huygens-Fresnel et une équation eikonale pour les ondes de surface. Ces résultats s’appliquent aux ondes de surface d’une hétérostructure quelconque. Il peut s’agir d’une interface simple entre de l’air ou un diélectrique et un métal (tel que l’or ou l’argent) ou un cristal polaire (tel que le carbure de silicium), ou d’un film constitué d’un métal ou d’un cristal polaire entouré d’air ou d’un diélectrique (figure 2.1), mais il peut s’agir de systèmes plus complexes, dont la forme générale est représentée sur la figure 2.2. Ses interfaces sont perpendiculaires à l’axe z et on note la constante diélectrique ϵ(z, ω). Nous nous plaçons en régime harmonique de pulsation ω réelle. Dans ce cas, à cause des pertes dans les matériaux présents, les relations de dispersion des ondes de surface présentent un repliement (back-bending), comme sur la figure 2.3. Afin de rappeler les résultats correspondants de l’optique de Fourier usuelle, à trois dimensions, et de montrer l’analogie entre celle-ci et l’optique de Fourier des ondes de surface, nous considèrerons également un milieu uniforme d’indice n. Nous noterons E(r)le champ électrique des ondes de surface, et E˜(r)le champ électrique du milieu uniforme d’indice n. Dans ce qui suit, nous rappellerons des résultats bien connus de l’optique de Fourier pour E˜(r) puis établirons des résultats correspondants pour E(r).

Équation de Helmholtz pour les ondes de surface

Dans la géométrie étudiée, il est possible de séparer les champs de polarisation TE et de polarisation TM. Les champs construits avec des ondes de polarisation TE (ou s) sont caractérisés par un champ électrique Ez nul. Les champs construits avec des ondes de polarisation TM (ou p) sont caractérisés par un champ magnétique Hz nul. Dans ce qui suit, on cherche une solution de polarisation TM, de sorte que Hz = 0 Nous allons nous intéresser à la composante Ez du champ électrique des ondes de surface, car nous pourrons en déduire toutes les autres composantes de E et H. Nous allons supposer qu’elle peut s’écrire sous la forme Ez(r) = E(x, y)f(z). (2.1) Cette écriture de Ez(r) se justifie par les rôles différents joués par les directions parallèles, x et y, et perpendiculaire, z, des hétérostructures des figures 2.1 et 2.2. Nous nous intéressons à Ez car il s’agit de la seule composante du champ électromagnétique des ondes de surface à être non-nulle (non-nulle sur toute la structure) quelle que soit la direction de propagation des ondes de surface. Les différents résultats concernant l’optique des ondes de surface porteront sur l’amplitude E(x, y). En multipliant les résultats obtenus par f(z), ceux-ci s’appliqueront également à Ez(r)

Relation de dispersion des ondes de surface

Nous nous intéressons dans cette partie à l’équation (2.7), dont nous allons rechercher les solutions. Nous verrons que celles-ci n’existent que pour des valeurs précises de Ksp, ce qui ëxera sa valeur. Ksp en fonction de la pulsation ω correspond à la relation de dispersion des ondes de surface de l’hétérostructure considérée. Cette hétérostructure peut consister en une interface simple entre deux milieux (dont les constantes diélectriques sont opposées, voir ëgure 2.1, gauche), en un ëlm (dont la constante diélectrique est opposée à celle des milieux qui l’entourent, voir ëgure 2.1, droite), ou à une hétérostructure quelconque (ëgure 2.2 ou 2.4). Avant de résoudre cette équation pour une hétérostructure quelconque telle que représentée sur les ëgures 2.2 et 2.4, nous allons étudier le cas, plus simple, d’une seule interface séparant deux demi-espaces semi-inënis et uniformes