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Choix des paramètres

Le choix de la température initiale est très important. Pour une variation donnée, si la température est trop grande, c’est-à-dire , tous les changements seront acceptés. Dans le cas inverse où la température est trop basse c’est-à-dire , alors une variation sera rarement acceptée quand et en conséquence, la diversité de la solution est limitée.
Mais, toute amélioration sera presque toujours acceptée. En effet, le cas correspondant à correspond aux méthodes du gradient parce que les meilleures solutions seulement sont acceptées.
En résumé, lorsque la température est trop grande, le système est à l’état de sa plus haute énergie et le minimum n’est pas atteint. Et dans le cas où la température est trop basse, le système peut être piégé dans un minimum local et non pas nécessairement global. Le système n’aura pas suffisamment d’énergie pour s’échapper du minimum local et ne pourra pas explorer d’autres minimums qui incluent le minimum global. Donc, une température initiale appropriée devrait être calculée.
Un autre sujet important est la manière de contrôler le processus recuit ou processus de refroidissement pour que le système refroidisse graduellement d’une haute température vers un minimum global. Il y a plusieurs moyens pour contrôler le taux de refroidissement ou la diminution de la température.
Deux moyens les plus utilisés par le programme recuit sont : linéaire et géométrique. Pour un programme de refroidissement linéaire, nous avons : (3.24)
: Température initiale
: Taux de refroidissement
: Temps pour chaque itération
Le taux de refroidissement est choisi de façon à ce que quand où correspond au temps où on atteint le maximum d’itération On choisit généralement le taux de refroidissement comme suit :
(3.25)
Pour un programme de refroidissement géométrique, on diminue la température par un facteur
de refroidissement . Dans ce cas, la température est remplacée par : (3.26)
L’avantage de cette méthode de refroidissement géométrique est que la température va tendre
vers quand et donc il n’est pas nécessaire de spécifier le nombre maximum d’itérations. Pour cette raison, cette deuxième méthode est privilégiée par rapport à la première méthode. Le processus de refroidissement devra être assez lent pour permettre au système de stabiliser facilement. Dans la pratique, on choisit communément la valeur de entre 0,7 et 0,95.
En outre, pour une température donnée, des évaluations multiples de la fonction objective sont requises. Dans le cas où les évaluations ne sont pas assez nombreuses, il se peut que le système ne soit pas stable et en conséquence ne converge pas vers l’optimum global. Avec un trop grand nombre d’itérations, le temps de calcul sera trop élevé et le système aura tendance à converger très lentement en fonction du nombre d’itérations pour obtenir la stabilité.
En conséquence, il faut un équilibre entre le nombre d’évaluations et la qualité de la solution. Il est possible de faire beaucoup d’évaluations dans les faibles températures et d’en faire moins dans les hautes températures.
Il y a deux grands choix pour le nombre d’itérations : soit on le fixe, soit on le varie. Dans le premier cas, le nombre d’itérations est fixe à chaque température tandis que le deuxième cas augmente le nombre d’itérations dans les basses températures et donc les minimums locaux seront bien explorés.

Algorithme du recuit simulé

Pour chercher une température initiale convenable, nous pouvons nous appuyer sur les informations concernant la fonction objective. Si la valeur maximale de la variation de la fonction objective est connue, nous pouvons utiliser cette information pour évaluer la température initiale pour une probabilité donnée . On a : (3.27)
Dans le cas où le maximum de la variation de la fonction objective n’est pas connu, il est possible d’utiliser une approche heuristique. On commence les évaluations à une très haute température où la plupart des changements sont acceptés, et puis on réduit rapidement la température jusqu’à environ des mauvais changements acceptés. Cette température sera utilisée comme température initiale.
Pour la température finale, il devrait être zéro en théorie, c’est-à-dire, le cas où aucun changement n’est accepté. Dans la pratique, nous choisissons juste une très petite valeur de l’ordre de à selon la qualité de la solution requise et des contraintes de temps que nous voulons adopter.

Table des matières

FISAORANA
REMERCIEMENTS
TABLE DES MATIERES
NOTATIONS ET ABREVIATIONS
LISTE DES TABLEAUX ET FIGURES
INTRODUCTION ET POSITION DU PROBLEME
CHAPITRE 1  METHODES DE RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES DECRIVANT LES SYSTEMES PHYSIQUES
1.1 Introduction
1.2 Les équations différentielles ordinaires : problèmes de Cauchy
1.2.1 Méthode d’Euler
1.2.2 Méthode de Taylor
1.2.3 Méthode de Runge-Kutta
1.2.4 Méthode de Runge-Kutta-Fehlberg
1.2.5 Méthode à plusieurs pas
1.3 Les équations différentielles ordinaires : problèmes aux limites
1.3.1 Méthode de tir linéaire
1.3.2 Méthode de tir non linéaire
1.3.3 Méthode des différences finies pour les problèmes linéaires
1.3.4 Méthode des différences finies pour les problèmes non linéaires
1.3.5 Méthode de Rayleigh-Ritz
1.4 Les équations aux dérivées partielles
1.4.1 Equations elliptiques
1.4.2 Equations paraboliques
1.4.3 Equations hyperboliques
1.5 Conclusion
CHAPITRE 2 PRESENTATION MATHEMATIQUE DE LA METHODE DES ELEMENTS FINIS
2.1 Introduction
2.2 Formulation faible
2.2.1 Méthode des résidus pondérés
2.2.2 Formulation variationnelle
2.2.3 Théorème de Lax-Milgram
2.3 Méthode de Ritz
2.3.1. Principe de la méthode de Ritz
2.3.2 Construction du système linéaire
2.4 Eléments finis unidimensionnels
2.4.1 Définition du problème
2.4.2 Maillage
2.4.3 Formulation variationnelle
2.4.4 Eléments de référence
2.4.5 Construction des fonctions d’interpolation
2.4.6 Intégration numérique
2.4.7 Assemblage
2.4.8 Conditions aux limites et solution du système
2.5 Eléments finis multidimensionnels
2.5.1 Définition du problème
2.5.2 Maillage et noeuds
2.5.3 Forme variationnelle élémentaire
2.5.4 Eléments de référence
2.6 Convergence de la méthode des éléments finis
2.6.1 Position du problème
2.6.2 Théorème de Céa
2.6.3 Paramètres de convergence
2.7. Conclusion
CHAPITRE 3 OPTIMISATION PAR LES ALGORITHMES GENETIQUES
3.1 Introduction
3.2 Les problèmes d’optimisation .
3.2.1 Problèmes d’optimisation mono-objectif et multi-objectif
3.2.2 Nature des fonctions objectives et des contraintes
3.2.3 Optimum local et optimum global
3.2 Méthodes déterministes
3.2.1 Méthode avec gradient
3.2.2 Méthode multistart
3.2.3 Méthode du simplexe
3.2.4 Méthode de branch and bound
3.3 Méthodes stochastiques et métaheuristiques
3.3.1 Monte-Carlo
3.3.2 Recuit simulé (RS)
3.3.3 Algorithme de la colonie des fourmis
3.3.4 Optimisation PSO
3.4. Algorithmes évolutionnaires
3.5 Algorithme génétique
3.5.1 Les éléments clés de l’algorithme génétique
3.5.2 Les types de codage
3.5.3 Sélection
3.5.4 Croisement
3.5.5 Mutation
3.5.6 Critère d’arrêt
3.6 Théories mathématiques sur l’AG
3.6.1 Hypothèses des blocs de construction
3.6.2 Hypothèse de la mutation adaptive
3.6.3 Théorie des schémas
3.7 Convergence de l’algorithme génétique par les chaînes de Markov
3.7.1 Chaînes de Markov
3.7.2 Modélisation des opérateurs
3.7.3 Processus de fond
3.7.4 Processus perturbé
3.7.5 Convergence de l’AG
3.8 Conclusion
CHAPITRE 4  THEORIE SUR LES POUTRES ET LES MATERIAUX PIEZOELECTRIQUES
4.1 Introduction
4.2 Les matériaux piézoélectriques
4.2.1 Interprétation de l’effet piézoélectrique
4.2.2 Effet piézoélectrique dans un cristal bi-ionique
4.2.3 Effet piézoélectrique dans les céramiques ferroélectriques
4.2.4 Effet piézoélectrique dans les polymères
4.3 Equations constitutives unidimensionnelles
4.3.1 Polarisation
4.3.2 Piézoélectricité
4.4 Equations constitutives générales
4.4.1 Principe de la thermodynamique
4.4.2 Equations piézoélectriques linéaires
4.5 Application de la méthode des éléments finis
4.5.1 Principe variationnel
4.5.2 Formulation par éléments fini
4.6 Théorie des poutres
4.6.1 Cinématique des poutres
4.6.2 Equations d’équilibre
4.7 Modélisation d’une poutre piézoélectrique
4.7.1 Présentation du système
4.7.2 Cinématique et équations piézoélectriques
4.7.3 Formulation variationnelle
4.7.4 Relations couplées
4.7.5 Formulations éléments finis
4.8 Originalité et innovation de la thèse
4.9 Conclusion
CHAPITRE 5 CONTROLE DE LA DEFORMATION D’UNE POUTRE PIEZOELECTRIQUE BIMORPHE UTILISANT COMSOL MULTIPHYSICS ET L’ALGORITHME GENETIQUE
5.1 Introduction
5.2 Modélisation dans Comsol Multiphysics
5.2.1 Présentation de Comsol Multiphysics
5.2.2 Dimension d’espace, choix de la physique, type d’étude et géométrie de la poutre piézoélectrique bimorphe
5.2.3 Choix du matériau
5.2.4 Propriétés des matériaux
5.2.5 Conditions mécaniques et électriques du problème
5.2.6 Directions de polarisation des matériaux piézoélectriques
5.2.7 Maillage
5.3 Résultats obtenus dans Comsol Multiphysics
5.3.1 Répartition du potentiel électrique dans le cas où on applique une tension de 10V
5.3.2 Répartition des contraintes dans le cas où on applique une tension de 10V
5.3.3 Déplacement obtenu dans le cas où on applique une tension de 10V
5.3.4 Répartition des contraintes dans le cas où on applique une force de 1000N
5.3.5 Déplacement obtenu dans le cas où on applique une force de 1000N
5.4 Comparaison avec les résultats dans la littérature
5.5 L’algorithme génétique
5.6 Contrôle de la déformation d’une poutre piézoélectrique bimorphe
5.6.1 Position du problème
5.6.2 Optimisation de la tension à appliquer
5.6.3 Optimisation de la force à l’extrémité .
5.6.4 Optimisation de la tension et de l’épaisseur de la partie piézoélectrique supérieure
5.7 Conclusion
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
ANNEXES
REFERENCES
FICHE DE RENSEIGNEMENTS
RESUME ET MOTS CLES
ABSTRACT AND KEYWORDS

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