Optimisation diférentiable et non diférentiable

Compressibilité du sol

La compressibilité des argiles offre des informations importantes à la compréhension des facteurs qui influencent la réponse du sol sous différents chargements. Elle procure la réponse volumique qui donne les indices de compressibilité élastique et plastique en plus de la pression de préconsolidation pc. Cette pression correspond à la plus grande pression subie par le sol. Les résultats des essais de compression isotrope sont usuellement donnés par la variation de l’indice des vides e avec le logarithme de la pression moyenne effective p. Trois essais de compression isotrope sur trois argiles différentes ont été retenus de la littérature pour analyser leurs réponses. Les chemins de compression suivis dans ces essais sont donnés dans le Tableau 1.1 avec les références correspondantes. La Figure 1.4 illustre les courbes de compressibilité de ces argiles. La courbe de compressibilité de l’argile plastique de Drammen peut être divisée en deux phases. La première phase (partie pseudo élastique) est restreinte à la partie où p est inférieure à 100 kPa qui représente approximativement la pression de préconsolidation pour l’échantillon testé.

Des variations plus importantes de l’indice des vides ont lieu dans la deuxième phase (partie plastique) avec une continuité entre les deux phases. La compression isotrope de l’essai Iso-2, réalisé sur un échantillon reconstitué de l’argile de Londres, montre une réponse typique d’un échantillon normalement consolidé avec une pente de décharge plus petite que celle du chargement. Cette caractéristique de la réponse des argiles est aussi observée sur le cycle de décharge de l’essai Iso-3 sur l’argile de Boom. Avec un indice de vide plus petit, la compressibilité de l’argile de Boom est réduite par rapport à celle de l’argile de Drammen. On note aussi que le cycle de décharge-chargement de l’essai Iso-3 présente une hystérésis. Les essais de compressibilités présentés confirment que la réponse du sol dépend de son état de contrainte en comparaison avec son historique de chargement. On introduit ici le coefficient de consolidation OCR (Over Consolidation Ratio), défini comme le rapport entre la pression de préconsolidation pc et sa pression effective actuelle p, qui permet de qualifier cette caractéristique dans la mécanique des sols. Pour un essai de compression isotrope, la limite entre la première partie, supposée élastique et la deuxième partie plastique est donnée par la pression de préconsolidation pc.

Ces résultats sont classiques et nous montrent une forte non-linéarité de la réponse du sol ne serait-ce que par la présence du logarithme de la pression moyenne. Ils ont invité les chercheurs à considérer une double non linéarité pour décrire la compressibilité du sol alors que sa réponse ne se décrit pas toujours par deux droites. La courbe change de pente quand la pression de préconsolidation est dépassée. Ceci est confirmé par la réponse d’un sol remanié, dont l’historique est effacé, qui suit la droite de compression normale. La compressibilité du sol est une caractéristique importante parce qu’elle est intrinsèque au sol lui même. Les erreurs liées aux mesures de contraintes et de déplacements ont été réduites avec plusieurs développements. L’application du confinement et de la force axiale sont contrôlées par des GDS qui ont des précisions de l’ordre d’un kPa. La mesure du déplacement axial est généralement réalisée par des LVDT qui ont une précision de l’ordre de 0.1% de leur étendue de mesure. Pour un LVDT avec une étendue de mesure de ±1.5 cm, l’erreur de mesure de la déformation axiale est de l’ordre de 0.015%. Cependant, l’erreur de la mesure de la déformation volumique n’est pas quantifiée. Elle dépend non seulement de la mesure du volume d’eau sortant mais aussi de la vitesse de réalisation de l’essai. Si l’essai drainé n’est pas réalisé à une vitesse assez petite par rapport à la perméabilité de l’échantillon, la mesure de la déformation volumique est erronée. Au cours d’un essai isotrope, on peut mesurer non seulement les déformations volumiques « v, à partir du volume d’eau sortant, mais aussi les déformations axiales « a. Nous nous attendons alors à avoir « v = 3″a pour un matériau isotrope. Après la saturation, la première étape d’un essai triaxial, CU ou CD, est une compression isotrope pour la consolidation. Nous disposons de résultats de cette première phase, pour des essais triaxiaux sur une marne grise jugée isotrope dans la littérature.

Synthèse sur les observations expérimentales

Les observations expérimentales montrent une dépendance directe entre la réponse du sol et son historique de chargement. Les sols denses sous de grandes pressions ont une réponse similaire aux sols lâches sous de petites pressions. Comme les contraintes ne sont pas suffisantes pour reproduire cette réponse, une autre variable d’état doit être introduite. L’identification d’au moins une variable d’état, en plus des paramètres intrinsèques du matériau, est alors nécessaire pour intégrer l’influence de l’historique du chargement du sol. Idéalement, la variable d’état choisie doit avoir une signification physique tout en pouvant être mesurée par un essai donné. L’état de consolidation des argiles est caractérisé par la pression de pré-consolidation, étant directement la plus grande pression effective que le sol a subi durant son histoire. Elle peut être retrouvée directement à partir d’un essai de compression isotrope comme l’illustre la Figure 1.4. Par ailleurs, la nature de la réponse contractante ou dilatante dépend du rapport entre la pression moyenne appliquée et sa pression de pré-consolidation (OCR). Pour intégrer ces caractéristiques dans un modèle de comportement, l’une des possibilités est de considérer une relation entre l’indice des vides et une pression moyenne caractéristique pour les argiles (Hvorslev, 1961).

En outre, la variation de la réponse du sol en déformation d’un comportement contractant à un comportement dilatant indique que la variable caractérisant l’historique de chargement du sol doit être liée à une variable cumulative. L’approche la plus courante est de relier les déformations volumiques plastiques à la pression de pré-consolidation (Roscoe et al., 1958). De plus, la prise en compte de l’historique du chargement sans l’intégration de l’existence de l’état critique serait erronée (Wood, 1990) ou du moins ne représenterait pas la nature de la réponse du sol. L’étude du comportement du sol à partir d’essais triaxiaux montre que la réponse du sol converge vers un état asymptotique où le rapport des contraintes _ = q/p devient constant. Il est d’usage de caractériser cet état dans le plan (p − q) par la droite de l’état critique dont la pente est notée M. L’idéalisation des observations expérimentales dans le cadre de la théorie de l’état critique est illustrée dans la Figure 1.10. Elle donne la réponse idéalisée de deux essais drainés, sur le même sol, avec la même pression de pré-consolidation initiale et deux confinement différents. La surface de charge initiale est identique pour les deux échantillons si elle ne dépend que de la pression de pré-consolidation initiale.

Modélisation du comportement mécanique d’un Sol

« Si l’élaboration d’un modèle de comportement est nécessaire pour compléter les lois de conservation et aboutir à un système algèbro-différentiel dans l’espace et dans le temps avec des conditions initiales et aux limites, elle est aussi une utopie, une gageure et un défi » (Tijani, 2008). Cette citation est fondée sur le fait qu’une loi de comportement universelle d’un matériau naturel n’existe pas. Une loi de comportement est une formulation mathématique de la réponse du sol sous un chargement donné, c’est une fonction qui lie les contraintes appliquées aux déformations subies par un VER du sol. Ainsi, les spécialistes se sont concentrés sur la détermination de lois approchées qui reproduisent, le plus exactement possible, la réponse d’un échantillon sous des sollicitations données.

Ce constat est traduit par la multitude de modèles existants pour la simulation du comportement du sol. Le développement de modèles de comportement a été l’un des principaux sujets de recherche en géotechnique au cours des soixante dernières années. Proposer un nouveau modèle ou une amélioration d’un modèle existant est de ce fait un grand défi dans un contexte de travaux de recherche abondants et de besoins en ingénierie de plus en plus pointus. Avec un nombre important de modèles proposés dans la littérature pour la résolution de différents problèmes géotechniques, les ingénieurs se retrouvent devant un vaste choix de modèles mais qui ne leur sont pas toujours accessibles. D’une part, il existe des modèles très sophistiqués avec un grand nombre de paramètres difficiles à déterminer. D’autre part, les modèles existants sont rarement implémentés dans des codes de calcul utilisés en ingénierie. Dans ce travail, nous essayons de chercher pour les ingénieurs un modèle intégrant les principales caractéristiques du comportement des sols pertinentes pour l’application particulière de la simulation du creusement de tunnels. Dans un premier temps, on résumera les principales caractéristiques du comportement à prendre en compte avant de présenter une brève analyse des modèles sophistiqués de la littérature. Finalement, nous analysons les modèles de comportement utilisées en ingénierie pour la simulation des tunnels.