Optimisation des conditions de coupe en rectification

Introduction

 Les méthodes d’optimisation des équations différentielles ont été réalisées par les contributions de Newton et Leibnitz Cauchy fut le premier à mettre en œuvré une méthode d’optimisation méthode du pas de descente, pour la résolution de problème sans contraintes, depuis ces considérable contribution, il y peu d’avance .Il faut dire qu’à l’époque les mathématiciens et les ingénieurs calculaient à la main. Il faut attendre le milieu du vingtième siècle, avec l’émergence des calculateurs et surtout à la fin de la seconde guerre mondiale pour voir paraître des avances spectaculaires en termes de technique d’optimisation. En mille neuf cent quarante sept, l’américain Dantzig propose un algorithme pour résoudre des problèmes linéaire avec contraintes .En mille neuf cent cinquante sept, Bellman dit le prince d’optimisation des problèmes de programmation dynamique. Dans ce chapitre, nous allons présenté un modèle d’optimisation multi-critère pour une opération de rectification cylindrique.

Optimisation

L’optimisation est exprimée comme une fonction-objectif à une ou plusieurs variables, pour être maximisée ou minimisée sous un certain nombre de contraintes.

Problème d’optimisation

Un problème d’optimisation est défini par un espace d’état (espace de recherche des solutions), une ou plusieurs fonction-objectif(s) et un ensemble des contraintes. -Les variables : Les variables du problème peuvent être de natures diverses (réelle, entière,.. etc.) et expriment des données qualitatives ou quantitatives. -Une fonction-objectif : Une fonction-objectif représente le but à atteindre pour le décideur. Elle définit un espace de solutions potentielles au problème. -L’ensemble de contraintes : L’ensemble de contraintes définit des conditions sur l’espace d’état que les variables doivent satisfaire. Ces contraintes sont souvent des équations d’inégalité ou d’égalité et permettent en général de limiter l’espace de recherche. La séparation entre la fonction-objectif et les contraintes peut paraître artificielles car nous considérer qu’une contrainte est un objectif à atteindre. Mais elle se justifie de deux manières différentes : d’une part, les contraintes sont appliquées sur l’espace de recherche alors que les objectifs définissent l’espace des solutions. D’autre part, dans de nombreuses méthodes les contraintes et les objectifs sont traités par des procédures différentes. -L’espace de recherche : L’espace de recherche est le domaine limité des variables d’optimisation définit à partir des données technologiques de référence. Cette limitation n’est pas le seul problématique car lorsqu’un problème est posé, les décideurs précisent un domaine de valeur envisageable à chacun des variables. De plus, pour des raisons opératoires et de temps de calcul, il est préférable de travailler sur des domaines finis [8]. – Formulation mathématique: Un problème d’optimisation est exprimé comme une fonction-objectif à une ou plusieurs variables, pour être maximisée ou minimisée sous un certain nombre des contraintes. Les fonctions des contraintes définissent le domaine acceptable des variables pour le processus d’optimisation, de telles contraintes, permettent la limitation des domaines de variables dans la recherche de la solution optimale. Le système suivant exprime la forme mathématique générale d’un problème d’optimisation. Dans cette équation  est l’expression mathématique de la fonction-objectif (ou critère d’optimisation ou fonction économique) avec le vecteur  א ୬ a pour composantes Nous supposons ici que l’ensemble des contraintes ୨ ሺሻ sont de type inégalité et l’ensemble des contraintes   sont de type égalité.

Classification de problème d’optimisation

 L’optimisation est basée sur trois paramètres principaux : la nature du problème, l’existence des contraintes et le nombre des critères d’optimisation. De ce fait, on peut classifier les problèmes d’optimisations suivant ces trois paramètres. Problème linière ou non linière: Un problème d’optimisation linière est considéré comme un problème de résolution d’un système d’équations linières. Dans ce cas, toutes les équations soit la fonction-objectif ou les contraintes sont linaires. La modélisation de problème est telle que : Contrainte linéaire (inégalité) (2) Contrainte linéaire (égalité) Tandis que la grande difficulté d’un problème de conception provient du fait qu’il s’agit d’un problème d’optimisation non linéaire et d’implicite dans les variables de conception. Les méthodes d’approximation les plus populaires pour résoudre les problèmes non linéaire étant la méthode de gradient, méthode de pénalité intérieure et méthodes de Newton-Raghson… etc. La forme générale d’un problème d’optimisation est la suivante Où les fonctions f, g et h sont typiquement non-linéaires. Problème avec ou sans contraintes : Il est fréquent que l’on puisse parfois proposer un modèle mathématique exacte d’un phénomène physique et que les données expérimentales se révèlent insuffisant rendant la détermination des variables par les méthodes classique impossible. De ce fait, nous avons souvent recours à des méthodes d’approximation de donnée numérique par des fonctions analytiques dans le cas de système linéaire. 

Formulation mathématique du problème de rectification cylindrique

Le problème d’optimisation du procédé de rectification cylindrique est basé sur la minimisation du paramètre d’enlèvement de matière de la meule, et la maximisation de celui de la pièce. La formulation mathématique du problème est basée sur l’écriture de ces critères en fonction des variables de problème permettant ainsi la sélection des conditions satisfaisants les préférences du décideur.

Les variables d’optimisation

D’une manière générale, la détermination des paramètres de coupe par abrasion nécessite une bonne connaissance des facteurs d’incidence relatifs au couple outil-matière, à l’opération d’usinage et à l’environnement. Les variables définissant les conditions de coupe en rectification sont des grandeurs géométriques et cinématiques intervenant dans la dynamique de coupe et la nature du milieu dans lequel est effectuée (lubrification). Les variables retenues pour une opération de rectification cylindrique sont : Pour les grandeurs géométriques : La profondeur de dressage c (mm). 

critères d’optimisation

Les deux paramètres technologiques liés à l’enlèvement de matière de la pièce et de l’outil constituent les objectifs (critères) d’optimisation. Le paramètre d’enlèvement de matière de la pièce donné par l’équation (5) doit être maximisé et le paramètre d’enlèvement de matière de la meule donné par l’équation (6) doit être minimisé. 

Les contraintes

 Le processus d’optimisation est souvent limité par l’espace de recherche. Des limitations additionnelles sont nécessaires pour la stabilité et la sécurité du processus de coupe. 

Optimisation des conditions de coupe en rectification 

 Afin d’amélioré le procédé de rectification cylindrique, le G-ratio doit être maximisé. Cette tâche est réalisé soit par la maximisation du ߣ௪ ou par la minimisation de ߣ௦ . Pour les solutions obtenues (figure III.3), ce paramètre a presque une valeur stable. La différence entre les valeurs maximale et minimale est de 3.04. Supposons que nous devons choisir une solution à adapter. Si nous n’avons pas intérêt à l’économisation de la meule ni à la productivité du procédé, la solution convenable est celle qui à la valeur maximale du G-ratio. C’est la solution qui donne 866.81 mm3 /min à ߣ௪, et 196.23 mm3 /min aߣ௦ Ǥ Si nous somme intéressé à la meule, nous devons adapter la solution qui assure une perte minimale de la meule. C’est la solution minimisant uniquement la perte en matière de la meule. C’est la solution base sur les combinaisons de (w1, w2) . Pratiquement, on voie que cette solution résulte un débit de copeau de la pièce très faible. Tandis que la solution basée sur la combinaison les poids (0.9, 0.1) assure une perte de meule plus ou moins minimale avec un débit de coupeau acceptable. Cette solution peut être la solution adaptée pour la réalisation. D’autre part, et si nous visons la productivité, nous devons adapter le paramètre solution car elle assure le maximum de débit de copeau possible. Mais nous trouvons que la deuxième assure un débit moins du premier seulement 9×10-5 mm3 /min avec une diminution de la moitié de la matière perdu de la meule. Par conséquent, cette solution est la plus convenable. On trouve ainsi que les solutions ayant un poids nul pour l’un des critères d’optimisation sont défavorables. D’après cette analyse, nous pouvons dire que l’optimisation multi-objectif est favorable à celle mono-objectif.