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Ondes internes en océanographie et cristaux photoniques
Différents modèles asymptotiques
Dans cette section, nous construisons des modèles asymptotiques du système d’Euler complet (adimensionné) (Σ µ,γ,δ ǫ1,ǫ2,β). On se place donc dans un régime particulier, où l’un au moins des paramètres du système est supposé très petit. Présentons donc ici plus en détail les différents paramètres du système, leur signification et leur ordre de grandeur dans le cadre océanographique. µ mesure le caractère peu profond (shallow) du système. En effet, dans de nombreux cas, la profondeur des deux couches de fluide est petite devant la longueur d’onde caractéristique (voir Table 1 ci-dessous). Ainsi, dans la suite de notre étude, ce paramètre sera petit et constituera le socle de notre développement asymptotique : µ ≪ 1 ǫi (i = 1, 2) sont des paramètres de non-linéarité6 . Il sera fondamental de distinguer les cas où ces paramètres sont de l’ordre de l’unité (induisant des modèles dits fortement non-linéaires) et le cas où ces paramètres sont petits ǫi = O(µ) (induisant des modèles faiblement non-linéaires). α est défini par α ≡ ǫ1/ǫ2. Il est donc dépendant des paramètres ci-dessus, mais joue également un rôle propre. On retrouve les modèles à toit solide en forçant α = 0 et on supposera α = O(µ) dans un cadre particulier au Chapitre 4. δ est le ratio des hauteurs. Lors de l’adimensionnement, nous avons implicitement supposé que les deux couches sont de profondeur comparable ; ainsi, le choix de d1 – et non d2 – comme longueur verticale caractéristique est inoffensif. On choisira donc δ ∈ [δmin, δmax], fixé. γ est le ratio des densités (ou de manière équivalente des masses volumiques). Le fluide inférieur est supposé plus lourd que le fluide supérieur (le cas contraire entraîne des instabilités de Rayleigh-Taylor et le problème est mal posé) ; on fixe donc γ ∈ (0, 1). Le cadre océanographique nous amène à traiter des valeurs proches de l’unité, si bien que l’on supposera parfois 1 − γ = O(µ), ce qui correspond à l’approximation Boussinesq. β est le paramètre de bathymétrie. L’influence de la topographie n’est pas le sujet majeur de ce mémoire (on pourra consulter [26, 27, 54] par exemple, pour son traitement dans le cas à un fluide) et nous nous limitons à β ≡ 0 aux Chapitres 3 et 4. Par souci de généralité, nous construisons les modèles pour β ∈ [0, βmax] dans le Chapitre 2. Le choix même des changements de variables lors de l’adimensionnement, restreint implicitement le domaine de validité de notre analyse. En particulier, le choix de λ comme longueur caractéristique horizontale sur tout le domaine nous limite au cas de longueurs d’ondes internes et de surface de même ordre de grandeur. Enfin, puisqu’il n’y a pas de direction horizontale préférentielle, nous n’étudions pas les ondes transverses. Nous présentons dans la Table 1 quelques paramètres caractéristiques des ondes qui ont pu être observées et mesurées (d’après [97, 52] et leurs références), justifiant ainsi le choix des régimes considérés.
Asymptotic shallow water models for internal waves in a two-fluid system with a free surface
General settings
This chapter deals with weakly and strongly nonlinear internal waves in a two-fluid system. We consider the case of uneven bottom topography and free surface, although the rigid-lid assumption is mentioned. The idealized system studied here consists of two layers of immiscible, homogeneous, ideal, incompressible, and irrotational fluids under only the influence of gravity. The mathematical theory of internal waves, following the theory of free-surface water waves, has attracted lots of interest over the past decades. We let the reader refer to the survey article of Helfrich and Melville [52] for a good overview of the ins and outs on this problem. The governing equations, which we call the full Euler system, are fully nonlinear, and their direct study and computation remain a real obstacle. In particular, the wellposedness of the equations in Sobolev space is challenging, as discussed in Remark 1.1. An alternative way is to look for approximations through the use of asymptotic models. Such models can be derived from the full Euler system by introducing natural dimensionless parameters of the system and by setting some smallness hypotheses on these parameters (thus reducing the framework to more specific physical regimes). Many models for a two-fluid system have already been derived and studied. Systems under the rigid-lid assumption have first been investigated (see [89] or [81], for example). Weakly nonlinear models in the free-surface case have been presented by Choi and Camassa [30]. Nguyen and Dias [93] presented a great deal of numeric simulations for such Boussinesq-type systems. Strongly nonlinear regimes have been derived by Matsuno [82], Choi and Camassa [31], and Barros, Gavrilyuk, and Teshukov [8], generalizing the classical Green–Naghdi model (see [48]). A different approach has been carried out by Craig, Guyenne, and Kalisch [35], using the Hamiltonian formulation of the Euler equations. Most of these works are formal and are restricted to two-dimensional flows or to the flatbottom case. Finally, we refer to the work of Bona, Lannes, and Saut [17] who, following a strategy initiated in [16, 14, 15], rigorously derived a large class of models in different regimes under the rigid-lid assumption. This chapter is concerned with the more complex case where the rigid-lid assumption is removed and replaced by a free surface. The strategy consists of rewriting the full system as a system of four evolution equations located on the surface and the interface between the two fluids (as opposed to two equations in the rigid-lid case). The reformulation introduces a Dirichlet-to-Neumann operator G[ζ] and an interface operator H[ζ], defined precisely below. The computation of asymptotic expansions of these operators leads to the models presented here. We focus here on shallow water regimes, allowing strongly nonlinear waves. Our analysis gives a rigorous derivation of most of the models existing in the literature and also interesting new ones. In particular, we derive a set of models in the Boussinesq/Boussinesq regime, with coefficients that can be chosen so that the system is linearly well-posed. We prove that the full Euler system is consistent with each of our models, which roughly means that any solution of the full system solves the asymptotic systems up to a small error. Then in the case of the shallow water/shallow water model, using energy methods together with consistency, we also prove that the solutions of our models converge toward the solutions of the full Euler system, assuming that such solutions exist. The chapter is organized as follows. Section 1 is devoted to the reformulation of the full system, from the Euler equation to the “Zakharov formulation,” written in dimensionless form. In section 1.6, we focus on the linearized system, and its dispersion relations are derived. From the asymptotic expansion of the operators G[ζ] and H[ζ] presented in section 2, the asymptotic models under different regimes are rigorously obtained and are presented in section 2.3. The consistency of the full Euler system with each of our models is proved. Then section 3 gives convergence results: we show that the solutions of the full Euler system tend to associated solutions of one of our models in the shallow water limit.
Remerciements |
