Ondes et Décompositions dans les Structures Guidantes et Périodiques

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Ondes et Décompositions dans les Structures Guidantes et Périodiques

Mes travaux de recherche portent notamment sur les méthodes numériques par différences finies, les méthodes asymptotiques par faisceaux gaussiens, et les ondes à moment angu-laire orbital. À première vue, ces thématiques sont éloignées les unes des autres. Dans mes travaux, elles partagent cependant une ligne directrice commune : le passage par des ondes élémentaires pour lesquelles existent des formulations analytiques et des décompo-sitions. Ce chapitre traite d’une première situation où cette ligne directrice apparaît. Il s’agit de l’introduction de modes discrets dans la modélisation par différences finies de structures guidantes et transversalement périodiques. Dans des configurations complexes dont les dimensions n’excèdent pas quelques longueurs d’onde tels que les métamatériaux, certaines antennes ou les composants RF, nous verrons que l’introduction de ces modes permet d’accélérer les calculs via un préconditionneur.
Ce chapitre débute par une présentation du contexte. Suivent les études du guide à plaques parallèles et de la structure transversalement périodique 2D. La méthode est finalement étendue aux configurations 3D. Des simulations et des comparaisons avec des méthodes de référence sont présentées afin de souligner les performances des approches étudiées.
Dans ce manuscrit, tous les calculs sont en régime harmonique, la dépendance en exp(jωt) où ω est la pulsation étant omise.

Contexte

Ce travail se situe dans le cadre du projet SMURF (Simulation and Modeling Underlying Radiofrequencies) financé par NWO et réalisé à l’Université d’Eindhoven TU/e par les départements Mathematics and Computer Science et Electrical Engineering. Deux ap-proches distinctes ont été développées pour analyser les systèmes issus de la discrétisation des équations de Maxwell. La première a été l’objet d’une thèse [60]. Elle est purement mathématique et porte sur les modèles d’ordre réduit dont le but est de capturer les caractéristiques essentielles d’un problème à l’aide d’un modèle de dimension réduite. La deuxième, qui passe par des formulations physiques et analytiques, a été développée du-rant mon post-doctorat à TU/e entre 2005 et 2007.
Ces travaux s’inscrivent dans le cadre des méthodes de différences finies. La plus popu-laire d’entre elles, la FDTD, conduit à un schéma numérique explicite itératif en temps [38]. Néanmoins, comme c’est une méthode temporelle, elle est peu adaptée aux maté-riaux dispersifs (dont les caractéristiques dépendent de la fréquence), aux calculs bande étroite ou aux structures périodiques sous incidence oblique. Dans de tels cas, il est pré-férable d’utiliser une méthode fréquentielle telle que les différences finies dans le domaine fréquentiel (FDFD). Cette approche conduit à un système linéaire creux, impliquant jus-qu’à plusieurs millions d’inconnues par fréquence de calcul. Ce système peut être résolu à partir de méthodes itératives basées sur les sous-espaces de Krylov (méthode du gradient conjugué, GEMRES, BiCGstab(l), …) [54]. Cependant, ces méthodes itératives convergent lentement et doivent par conséquent être accélérées, par exemple à l’aide de précondition-neurs.
L’objectif des travaux menés sur ce thème est de développer des techniques d’accélération basées sur une description modale discrète tenant compte de la physique du problème. Une des lignes directrices est de travailler exclusivement à partir de la forme discrétisée des équations (équation de Helmholtz en 2D, de Maxwell en 3D). Il est en effet possible de développer une théorie discrète auto-suffisante de l’électromagnétisme, notamment à partir du concept de formes différentielles [23], [35]. Ceci évite l’apparition d’erreurs dues à des discrétisations additionnelles. La technique d’accélération proposée repose sur un préconditionneur défini à partir d’un inverse approché du système linéaire initial. L’ap-proximation utilisée est basée sur la physique : elle consiste à découpler les influences mutuelles entre les différentes composantes modales se propageant dans la structure. Ceci revient à approcher la configuration initiale par plusieurs configurations 1D.
Dans cette section, cette approche est présentée en 2D puis en 3D, pour des guides fermés et pour des structures transversalement périodiques.

Guide à plaques parallèles

Cette partie est consacrée au cas 2D d’un guide à plaques parallèles contenant des di-électriques. Le problème est tout d’abord discrétisé par différences finies dans le domaine fréquentiel. Les modes discrets sont ensuite définis, puis utilisés pour définir une condition radiative modale exacte. De cette discrétisation résulte un système linéaire dont la résolu-tion par une méthode itérative est ensuite discutée. Pour accélérer la convergence de cette méthode, un préconditionneur est proposé. Ses performances sont finalement étudiées.

Formulation discrète

Deux formulations équivalentes du problème discret ont été utilisées. La première consiste à écrire explicitement les matrices associées au système linéaire. Ceci nécessite l’utilisation de produits de Kronecker pour noter les matrices par blocs. Une seule expression est alors obtenue qui contient à la fois les opérateurs différentiels et les conditions aux limites. Cette expression est détaillée dans [A3] pour le cas 2D. Elle devient lourde à manipuler en 3D. La deuxième écriture du problème passe par des opérateurs discrets. Son intérêt est que les équations discrètes ont une forme très proche des équations de départ. Dans ce manuscrit, seule cette dernière formulation est présentée.

Application

L’application est ici réalisée à des fins de comparaisons avec la FDTD pour le calcul de la réponse d’un matériau à bande interdite 2D sur une large bande de fréquence (200 points entre 0 à 6 GHz). Le calcul FDTD est réalisé à partir du logiciel libre MEEP [75] qui incorpore des PML sur les frontières absorbantes. La grille spatiale est de dimension Nz = 6Nx = 192 pour les deux méthodes. Afin d’initialiser le solveur itératif FDFD avec une bonne première estimation de la solution, la méthode marching on in anything est utilisée : à chaque pas en fréquence, les 3 précédents résultats sont utilisés [49].
Sur la figure 2.3b, les coefficients de transmission donnés par les deux méthodes sont les mêmes sur toute la bande d’étude. Les temps de calcul sont comparés sur la figure 2.3c. Quelle que soit la taille de la grille, ils sont du même ordre de grandeur. Pour un calcul bande étroite, FDFD serait certainement plus rapide que la FDTD.

Extension aux cas 3D

La méthode précédente s’applique également en 3D, la principale différence venant de la formulation discrète du problème qui doit alors être associée aux équations de Maxwell. Cette section traite à la fois du guide rectangulaire et d’une structure transversalement périodique. Un exemple d’application est également présenté.

Guide rectangulaire

Configuration et formulation

Dans un guide rectangulaire à parois parfaitement conductrices, le problème à résoudre est donné par les équations de Maxwell. D’un point de vue numérique, il est préférable de préalablement normaliser les champ électrique et magnétique.
Pour ramener le problème initial à un système linéaire de dimension finie, le domaine doit être borné en z. Pour cela, deux frontières artificielles doivent être rajoutées. Elles sont placées en nz = 0 et nz = Nz . Comme pour le cas 2D, grâce aux modes discrets définis précédemment, une condition radiative modale exacte peut être développée. Elle impose aux modes de se propager/s’atténuer vers l’extérieur du domaine. En combinant ces conditions au schéma de Yee, un système linéaire est formé. Ce système peut être résolu par méthode itérative de Krylov car la complexité du produit matrice-vecteur est faible, de l’ordre de O(NxNy Nz + NxNy (log Nx + log Ny )).

Préconditionneur

Comme en 2D, un préconditionneur A−01 peut être développé en supprimant les couplages entre modes. Le problème initial 3D est alors remplacé par plusieurs problèmes 1D, asso-ciés à des systèmes tridiagonaux. La résolution de A0 w = d comprend trois étapes :
• calcul de la représentation modale de la source d qui nécessite des transformées discrètes en sinus et cosinus ;
• résolution des équations des lignes discrètes (systèmes tridiagonaux) ;
• calcul de la transformée modale inverse.
Le coût de cette résolution est de O(NxNy Nz (log Nx + log Ny ), ce qui reste modéré par rapport au coût du produit matrice-vecteur associé au système linéaire initial.

Applications

Comme exemple d’application en 3D, le cristal photonique de type tas de bois illustré sur la figure 2.5a est considéré [65]. Il comprend huit couches de barreaux de silicone carrés de côté 71 µm et de permittivité relative 11.7. Les périodes spatiales selon x et y sont de X = Y = 232µm. La hauteur totale est de Z = 568µm. Comme précédemment la méthode itérative est BiCGstab(2). La taille de la grille est de Nx = Ny = 32 et Nz = 80, soit 491 520 inconnues. Le plan d’incidence est le plan xOz et la polarisation est soit parallèle soit orthogonale à ce plan.
Sur la figure 2.5b, le coefficient de transmission du cristal calculé par FDFD est repré-senté jusqu’à 620 GHz. Dans cette simulation la méthode marching on in anything est utilisée pour obtenir une bonne première estimation de la solution [49]. Cette simulation montre l’existence d’une bande interdite centrée à 500 GHz et de largeur 220 GHz. Grâce au préconditonneur, le nombre d’itérations reste modéré jusqu’à 600 GHz. Au delà, la convergence se détériore significativement. Sur la figure 2.5c, le coefficient de transmis-sion est calculé en fonction de l’angle d’incidence pour les deux types de polarisation à une fréquence de 500 GHz. Une nouvelle fois, la technique marching on in anything a été utilisée : une bonne première estimation de la solution est calculée à partir des résultats des quatre angles d’incidence précédents.

Conclusion

Dans cette section, nous avons vu qu’une condition radiative modale et qu’un précon-ditionneur peuvent aussi être introduits en 3D. La principale différence avec le cas 2D provient de la complexité de la formulation qui doit nécessairement tenir compte de l’as-pect vectoriel des champs. L’étude d’un cristal photonique de type tas de bois a montré de bonnes performances du préconditionneur, même si celles-ci se détériorent lorsque la fréquence augmente.

Table des matières

Introduction Générale 
1 Notice Individuelle 
1.1 Curriculum Vitae
1.2 Enseignement
1.2.1 Liste des enseignements
1.2.2 Responsabilités pédagogiques
1.3 Recherche
1.3.1 Responsabilités scientifiques et administratives
1.3.2 Responsabilités d’expertises et d’études
1.3.3 Collaborations
1.3.4 Rayonnement scientifique
1.3.5 Activités d’encadrement
1.3.6 Liste de publications
2 Ondes et Décompositions dans les Structures Guidantes et Périodiques
2.1 Contexte
2.2 Guide à plaques parallèles
2.2.1 Formulation discrète
2.2.2 Modes discrets
2.2.3 Condition radiative modale
2.2.4 Système linéaire
2.2.5 Préconditionneur
2.2.6 Application
2.2.7 Conclusion
2.3 Structure transversalement périodique 2D
2.3.1 Théorie
2.3.2 Application
2.3.3 Conclusion
2.4 Extension aux cas 3D
2.4.1 Guide rectangulaire
2.4.2 Structure transversalement périodique
2.4.3 Applications
2.4.4 Conclusion
2.5 Conclusion
3 Ondes et Décompositions en Espace Libre 
3.1 Faisceaux gaussiens
3.1.1 Formulations
3.1.2 Décompositions
3.1.3 Conclusion
3.2 Ondes à moment angulaire orbital
3.2.1 Le moment angulaire orbital
3.2.2 Estimation locale
3.2.3 Multiplexage OAM : bilan de liaison
3.3 Conclusion
4 Modèles basés sur les Faisceaux Gaussiens 
4.1 Interaction d’un champ avec des interfaces courbes diélectriques ou métalliques de grandes dimensions
4.1.1 Lancer de faisceaux gaussiens
4.1.2 Coefficients de réflexion et de transmission d’un faisceau gaussien
4.1.3 Conclusion
4.2 Applications aux radômes
4.2.1 Contexte
4.2.2 Exemple
4.2.3 Faisceaux gaussiens conformes pour les radômes effilés
4.2.4 Conclusion
4.3 Systèmes quasi-optiques
4.3.1 Contexte
4.3.2 Transformation d’un faisceau gaussien par une surface dichroïque par raccordement spectral
4.3.3 Comparaison avec la méthode des moments
4.3.4 Simulation d’un système quasi-optique complet
4.3.5 Conclusion
4.4 Propagation troposphérique et radio-occultation
4.4.1 Contexte
4.4.2 Méthode faisceau gaussien de calcul de la réfraction atmosphérique en 2D
4.4.3 Application à la radio-occultation
4.4.4 Conclusion
4.5 Conclusion
5 Modèles de Canaux de Transmission pour l’Aviation Civile 
5.1 Contexte
5.1.1 Généralités
5.1.2 Brouillages et interférences
5.1.3 Multitrajets
5.2 Multitrajets GNSS en environnement aéroportuaire
5.2.1 Contexte
5.2.2 Les multitrajets en GNSS
5.2.3 Prédiction déterministe de l’erreur de pseudo-distance basée sur l’optique physique
5.2.4 Méthode hybride déterministe-statistique
5.2.5 Modèles d’erreurs pour le contrôle d’intégrité
5.2.6 Conclusion
5.3 Multitrajets VOR-éoliennes
5.3.1 Contexte
5.3.2 Modèle simplifié d’éolienne
5.3.3 Méthode de simulation
5.3.4 Exemple d’application
5.3.5 Conclusion
5.4 Conclusion
6 Bilan et Projet de Recherche 
6.1 Bilan
6.2 Projet de recherche
6.2.1 Valorisation des résultats acquis
6.2.2 Propagation en atmosphère réaliste 3D
6.2.3 Modèles de canaux de transmission pour l’aviation civile
6.2.4 Utilisation des propriétés de diversité des ondes électromagnétiques
6.3 Conclusion
A Liste des jurys de thèse
B Attestations
Bibliographie 

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