Observations sur le calcul des aides au logement

 Un invariant caché dans la manipulation de la CRDS

Cette section a pour but d’expliciter un invariant caché régissant les étapes finales du calcul de l’APL (secteur locatif, logement-foyer et accession à la propriété). En effet, Les articles D832-10, D823-16 et D832-24 du code de la construction et de l’habitation définissent tous la pénultième étape du calcul des aides au logement par la phrase suivante : Ce dernier résultat, obtenu par application des dispositions précédentes, est diminué d’un montant représentatif des contributions sociales qui s’y appliquent, arrondi à l’euro inférieur, puis majoré de ce montant représentatif.

La formulation est sibylline, il nous faut l’expliciter. Les aides au logements sont soumises à la Contribution de la Réduction pour la Dette Sociale (CRDS) prévue par l’ordonnance 96-50 du 24 janvier 1996 au titre de son article 14. Par contre, les aides au logement sont exonérées de la Contribution Sociale Généralisée (CSG) au titre de l’article L136-1-2 du code de la sécurité sociale.

Ainsi, ce qui devra être distribué au ménage n’est pas le montant de l’aide au logement tel que défini par le code de la construction et de l’habitation, mais le montant minoré de la CRDS prélevée à la source. Or, il semblerait que par la formulation des articles D832-10, D823-16 et D832-24 du code de la construction et de l’habitation, l’administration a voulu exercer un contrôle fin du montant effectivement versé au ménage. Plus précisément, il faut que ce montant versé soit un nombre entier d’euros, arrondi par défaut depuis la quantité précédente.

Analyse de la manipulation

Afin d’obtenir le résultat souhaité en bout de chaîne après prélèvement de la CRDS, les rédacteurs du code de la construction et de l’habitation effectuent donc cette manipulation qui consiste à anticiper le prélèvement de la CRDS, l’arrondir à l’euro inférieur, puis rajouter la CRDS pour qu’elle soit prélevée conformément à l’ordonnance de 1996. Cela donne donc les formules suivantes, avec ALbrut et ALnet les montants d’aide au logement avant et après prélèvement de la CRDS, et AL0 le montant initial de l’aide au logement brut, avant la rectification de l’arrondi à l’euro inférieur :

ALbrut = ⌊AL0 − CRDS(AL0)⌋ + CRDS(AL0) ALnet = ALbrut − CRDS(ALbrut) ≈ ⌊AL0 − CRDS(AL0)⌋ En suivant ce calcul, on a une formule très pratique pour le calcul de l’aide au logement nette versée au ménage, qui consiste simplement à déduire la CRDS de AL0 puis d’arrondir à l’euro Inria Observations sur le calcul des aides au logement 7 inférieur. Cependant, cette dernière simplification des termes de CRDS dans le calcul de ALnet n’est pas exacte. En effet, on a plus précisément : ALnet = ⌊AL0 − CRDS(AL0)⌋ + ∆ avec ∆ = CRDS(AL0) − CRDS(ALbrut) = CRDS(AL0 − ALbrut) car la CRDS est proportionnelle = CRDS(AL0 − CRDS(AL0) − ⌊AL0 − CRDS(AL0)⌋)

 Observations

Tout d’abord, l’analyse présentée ici n’a jamais été publiée par l’administration dans une quelconque communication publique. On est donc ici dans une situation typique où un dispositif réglementaire calculatoire vise à obtenir un but de haut niveau (verser une aide arrondie à l’euro inférieur tout en prélevant la CRDS) dont la spécification est absente du texte réglementaire, comme rappelé par Merigoux [2022].

L’absence de spécification du but de plus haut niveau nuit considérablement à la lisibilité du texte réglementaire; confrontés à la phrase décrivant la manipulation, notre premier réflexe a été de penser à une erreur dans le texte tant le calcul décrit ne semblait pas avoir de sens. Mais au delà de la lisibilité, il y a une conséquence plus grave à la dissimulation du but de haut-niveau de cette manipulation : le risque de casser les invariants qui assurent que la formule « marche ».

En effet, lors de la dernière étape de la démonstration pour ∆ = 0 e, une hypothèse essentielle est que le taux de la CRDS soit inférieur à 1%. Cette hypothèse constitue donc un invariant caché du système qui en garantit silencieusement la correction. Que se passe-t-il si l’on décide d’augmenter le taux de la CRDS à plus de 1%? Mathématiquement, la simplification de la formule ne tient plus : ∆ ̸= 0 e, et le montant d’aide au logement versé par la CAF sera donc de quelques centimes inférieur au montant qu’aurait dû toucher le ménage.

Cumulé sur l’ensemble des millions de ménages bénéficiaires de l’APL, une telle minoration pourrait représenter des millions d’euros d’aides moins-perçues. Sauf si l’administration se rend compte de la situation, auquel cas elle devra modifier le décret et trouver une autre formule mathématique pour arrondir à l’euro inférieur le montant d’aides versé d’une manière compatible avec le prélèvement de la CRDS.