Observation et contrôle d’halos de diffusion

Theorie quantique de la diffusion

La theorie quantique de la diffusion permet d’aborder un tres vaste èventail de domaines allant de la physique des hautes energies en passant par la chimie, le comportement de l’h élium liquide jusqu’a la condensation de Bose-Einstein. Il convient donc dès a prèsent de pr éciser le contexte dans lequel nous allons utiliser cette theorie.

Dans ce qui suit, nous allons aborder les collisions entre des particules bosoniques dans un gaz d’atomes dilue de basse énergie et contenu dans une boite en trois dimensions. Dans ce syst éme les interactions a deux corps dominent. Pour simplifier le probl ème, nous nous int èressons uni- quement aux processus de collisions elastiques. De mani ére remarquable, nous allons voir que seulement quelques parametres su ffisent pour decrire toute la physique des processus de colli- sion.

Description quantique d’une collision

Dans cette partie, nous allons decrire la collision entre deux particules comme la di ffusion d’une onde plane par un potentiel d’interaction V [46]. Nous verrons qu’en champ lointain l’onde resultante est alors la superposition de l’onde plane transmise et d’une onde sph érique di ffusee par le potentiel. Commenc¸ons par donner l’hamiltonien qui decrit une collision entre deux particules 1 et 2 aux positions rˆ1, rˆ2 et d’impulsions pˆ 1,pˆ 2 de meme masse ˆ m via un potentiel d’interaction V (rˆ1 − rˆ2) : Hˆ = pˆ 2 1 2m + pˆ 2 2 2m + V (rˆ1 − rˆ2). (4.1)

Apprehender cet hamiltonien directement est compliqu é du fait que le potentiel d’interaction couple le mouvement des deux particules. En revanche, il prend une forme simplifiee en utilisant les variables du centre de masse (CDM) et du mouvement relatif des deux particules : Rˆ cdm = rˆ1 + rˆ2 2 , rˆ = rˆ1 − rˆ2, (4.2) Pˆ cdm = pˆ 1 + pˆ 2, pˆ = pˆ 1 − pˆ 2 2 . (4.3) (4.4) En effet, avec ces nouvelles variables, l’hamiltonien Hˆ s’ecrit comme la somme de deux hamilto- niens : l’hamiltonien du centre de masse Hˆ cdm et l’hamiltonien du mouvement relatif Hˆ r 4.2. THEORIE QUANTIQUE DE LA DIFFUSION 119 Hˆ = 1 1 Pˆ 2 cdm 2M 1 1 | {z } Hˆ cdm + pˆ 2 2µ + V (rˆ) | {z } Hˆ r , (4.5) ou M = 2m est la masse totale et µ = m/2 est la masse reduite.

Ce changement de variable d écouple le mouvement du centre de masse du mouvement relatif des particules et la solution du probleme peut alors etre cherch ˆ ee sous la forme Ψ (r1, r2) = ψcdm(Rcdm,Pcdm)ψrel(r,p). (4.6) D’apres l’ èquation (4.5), le centre de masse du syst éme èvolue comme une particule libre de masse M. Sa fonction d’onde est donc connue et s’ecrit ψcdm = e iPcdm·Rcdm/~ /(2π~) 3/2 . Toute la complexite de l’interaction entre les deux particules est alors contenue dans la fonction d’onde du mouvement relatif des particules ψrel(r,p) dans le reférentiel du centre de masse. C’est a cette quantit è que nous allons donc nous interesser dans les prochains paragraphes. 4.2.1.1 Amplitude de diffusion On modelise le mouvement relatif comme une particule de vecteur d’onde k.

Connaˆıtre la fonction d’onde du mouvement relatif des particules ψrel(r,p) revient a d èterminer les états propres de l’hamiltonien du mouvement relatif Hˆ r pour une certaine energie é = ~ 2 k 2 /2µ. Pour cela, il faut resoudre l’ équation pˆ 2 2µ + V (r) ! ψrel(r,p) = Eψrel(r,p). (4.7) Experimentalement, il est impossible de remonter aux d étails des interactions entre les deux par- ticules sur le lieu de la collision. Nous n’avons acces qu’aux r èsultats de la collision en champ loin- tain. C’est pourquoi, nous nous interessons uniquement aux solutions asymptotiques de l’ équation (4.7). Nous cherchons la solution sous la forme d’une superposition d’une onde plane incidente ψinc et d’une onde spherique di ffusee lors de la collision ψdif