Numérisation d’un signal

Une grandeur physique M varie de manière continue dans le temps : c’est une grandeur analogique

On décide par exemple de réserver 4bits (soit 16 valeurs) pour le temps de 0 à tmax et 4bits pour M de 0 à Mmax (cette valeur Mmax est choisie apriori, indépendamment de la valeur maximale de la grandeur analogique : c’est l’équivalent du calibre choisi pour un multimètre). La place réservée en mémoire pour le graphe est donc de 8bits (soit 256valeurs). Cela revient faire le quadrillage ci-dessous
Seuls les couples (t , M) correspondant aux intersections du quadrillage peuvent être codés. On parle d’échantillonnage ou de quantification. Un codage numérique s’accompagne ainsi nécessairement d’une perte d’information.

Question 1

Ajouter sur chacun des axes, le code binaire associé à chaque graduation (0, 1, 10, 11, 100, etc.
La numérisation consiste, pour chaque valeur quantifiée du temps, à associer à M la valeur quantifiée la plus proche de sa valeur analogique.

Question 2

Pour chacune des 16 dates t quantifiées, marquer d’une croix rouge l’intersection (t , M) résultants de la numérisation de M(t).
L’écart maximal entre la valeur analogique de M et la valeur numérique correspond à une demi-graduation verticale.

Question 3

Donner l’expression de cet écart maximal en fonction de Mmax dans cet exemple.

Question 4

Donner l’expression de cet écart maximal en fonction de Mmax et de n dans le cas général d’un codage de M sur nbits.
Aide : voir l’introduction

Dans certains cas, l’opérateur peut choisir, indépendamment de la place réservée apriori en mémoire, le nombre de mesures réellement effectuées sur la durée du phénomène à numériser.

Question 5

Si l’on choisit de ne réaliser que six mesures de M également réparties entre la date initiale et la date finale incluses, donner sous la forme (code, code) la liste des six couples (t, M) résultants de la numérisation de M. On pourra entourer ces six points sur le graphe.

EXERCICE – Activité expérimentale : Numérisation d’un signal sonore

Un microphone relié à un système d’acquisition reçoit un son. Le signal électrique sera numérisé.
L’amplitude du signal après amplification est au maximum de 3,5V. La numérisation se fait sur la base d’une amplitude de 3,5V soit 7V crête à crête.
Supposons que la place réservée en mémoire pour la numérisation est de 4 octets : 2 octets pour le temps, 2 octets pour la tension.

Question 6

Combien de valeurs différentes peuvent être codées avec 2 octets ?

Question 7

Calculer l’écart maximal entre une valeur analogique de la tension et sa valeur numérisée.

Question 8

Comparer l’écart précédent à la précision du système d’acquisition si elle est de l’ordre de 1mV. Conclure.L’opérateur décide de réaliser l’acquisition de 201 points sur une durée de 50ms.

Question 9

Avec quelle période le système d’acquisition réalise-t-il les mesures ? Quelle est la fréquence associée, appelée fréquence d’échantillonnage.Le théorème de Nyquist-Shannon énonce que la fréquence d’échantillonnage doit être supérieure ou égale au double de la fréquence maximale du signal analogique.

Question 10

Proposer un protocole permettant, à l’aide d’un système d’acquisition, de déterminer la fréquence du son analogique produit par un instrument (diapason, guitare, flute, etc.). On conservera les paramètres de durée et de nombre de points indiqués dans l’exercice.

Question 11

Proposer et mettre en œuvre un protocole permettant d’illustrer le théorème de Nyquist-Shannon. Quel problème se pose si ce théorème n’est pas respecté ?