Nouvelles tâches sous-activité de contrôle et paradigmes [A1] et [A2]

Conception de la nouvelle tâche et analyse a priori

Compte tenu des résultats trouvés jusqu’ici, nous étudierons dans ce chapitre 8 l’activité et le travail des élèves avec des tâches qui offrent des occasions de sousactivité de contrôle issues d’une dialectique entre les paradigmes [A1] et [A2] et l’utilisation de la calculatrice. Par cette démarche, nous cherchons à construire une tâche qui favorise les trois sous-activités de contrôle mathématique74, qui soit sensible aux difficultés des élèves concernant les suites �! »# = �(�!) et qui soit cohérente à la transition L-U.

Pour ce faire, nous allons utiliser comme référence l’étude des tâches d’évaluation abordées dans le chapitre précédent mais en proposant, cette fois, un travail dans le paradigme [A1] avant de demander un travail dans le paradigme [A2]. Ainsi, pour la construction de cette nouvelle tâche (Figure 78), nous avons conservé l’étude de la fonction (partie A) car ses propriétés sont nécessaires pour étudier la suite. Tout d’abord, le travail peut être effectué dans l’un ou l’autre des deux paradigmes.

Ensuite, la partie B est directement liée au paradigme [A1] (avec un horizon au [A2] puisque nous demandons de conjecturer certaines propriétés de la suite) avec des occasions de contrôle sémiotique et instrumental grâce à l’utilisation de la calculatrice. Après ce travail, nous demandons dans la partie C un travail qui permette à l’élève de prouver les conjectures des propriétés de la suite avec un contrôle discursif soutenu par les contrôles développés dans la partie B.

Cette partie C est consacrée au paradigme [A2]. Enfin, nous soutenons que la mise en fonctionnement de trois sousactivités de contrôle mathématiques (sémiotique, instrumental et discursif) pourraient permettre la production d’un travail mathématique contrôlée. Pour étudier ces sous-activités de contrôle, l’accent sera mis sur la recherche de traces de contrôle explicite. Des incohérences dans les réponses peuvent manifester des manques de sous-activités de contrôle.

Il est possible de penser que le contrôle s’opère dans une dimension complémentaire à celle dans laquelle le travail est développé. Il en est de même pour les contrôles par paradigmes quand des élèves contrôlent par exemple leur travail dans [A2] en utilisant des résultats de [A1]. Dans ce qui suit, nous nous focalisons sur les questions B.1, B.2 et B.3 de la partie B, et les questions C.1, C.2 et C.3 de la partie C (la partie A ne concernant que l’étude de la fonction).

Partie B : occasions de contrôle sémiotique et instrumental et paradigme

L’énoncé de la partie B favorise la sous-activité de reconnaissance de la fonction en jeu mais ne favorise pas la reconnaissance de la suite récurrente sous la forme �! »# = # .*/* . Cela n’empêche pas les élèves de travailler avec la suite en fonction de � (et non de �!). L’énoncé de cette partie ne permet pas de contrôles non mathématiques sur la variation de la suite, sur sa convergence et sur la valeur de la limite de la suite. 212 Cette partie est totalement proposée dans le paradigme [A1] où l’on offre les occasions de contrôle sémiotique et instrumental avec l’utilisation de la calculatrice.

Suit la sous-partie B.1 avec trois tableaux à remplir pour les valeurs de termes �# à �9, pour trois valeurs différentes de � (valeurs 0, 0.5 et 0.9). Ici l’objectif est d’identifier et de se familiariser avec la suite à l’aide d’exemples explicites de termes de la suite. Du point de vue théorique nous souhaitons encourager le développement de la sous-activité de reconnaissance de la suite récurrente �! »# = # .*/* (qui n’est pas prise en charge par l’énoncé). Les sous-parties B.2 et B.3 ont pour objectif de conjecturer la variation, la convergence et la limite de la suite à partir de l’observation des premiers termes de la suite pour chaque valeur de � donné.

Si la monotonie peut être visualisée pour les 6 premiers termes puis inférée pour les valeurs suivantes (avec un possible contrôle avec les calculs des termes suivants), cela n’est pas possible pour la convergence et la limite. Il s’agit en effet d’une propriété locale en l’infini et nous disposons de trop peu d’informations75. Il peut ainsi y avoir des non-réponses à cette demande de conjecture qui proviendraient d’une bonne compréhension des tables de valeurs et de la notion de convergence. Nous identifions deux représentations numériques possibles données par la calculatrice : représentation décimale et représentation fractionnaire (cf. le Tableau 12 et le Tableau 13).

La première (celle que nous espérons) permet de répondre plus manifestement aux questions suivantes. La deuxième est moins évidente pour répondre aux questions, mais elle permet de conjecturer l’expression algébrique de la suite �! = ! ! »# de manière plus flagrante. Le choix de la représentation peut être conscient, avec éventuellement un affichage des deux types, ou subi à partir de la configuration de la calculatrice. Si le choix de représentation est conscient, cela pourrait aider les élèves à avoir soit un contrôle de type discursif (en utilisant l’expression de �!), soit un contrôle de type instrumental.