L’ENSEIGNEMENT ET L’APPRENTISSAGE DES NOMBRES, DU CALCUL ET DE L’ALGÈBRE

 L’ENSEIGNEMENT ET L’APPRENTISSAGE DES NOMBRES, DU CALCUL ET DE L’ALGÈBRE

Difficultés des élèves

Nombres entiers décimaux et rationnels, calcul et résolution de problèmes à l’école Une synthèse sur les acquis des élèves en fin d’école dans le domaine numérique et les difficultés relatives aux apprentissages des nombres et du calcul a été réalisée par Chesné et Fischer (2015) à l’occasion de la conférence de consensus sur les nombres et le calcul, en appui sur les travaux de différents didacticiens et sur les résultats aux évaluations nationales. Ainsi, si les élèves maîtrisent globalement l’aspect positionnel de l’écriture en chiffres (savoir que le chiffre juste à droite de la virgule est celui des dixièmes par exemple),

ils maîtrisent beaucoup moins l’aspect décimal (savoir qu’une unité est égale à 10 dixièmes) aussi bien sur les écritures de nombres entiers que décimaux (Grapin, 2015). Par ailleurs, le calcul d’additions et de soustractions pour les entiers semble acquis globalement en fin d’école (Chesné, 2014 ; Dalibard & Pastor, 2015), mais il subsiste des difficultés plus importantes dans les multiplications et divisions par 10, 100, 1 000 ou dans des tâches de comparaisons de décimaux, les élèves cherchant à étendre des règles établies pour les nombres entiers aux nombres décimaux (par exemple, pour multiplier par 10, on ajoute un 0 à la fin du nombre).

En ce qui concerne les nombres rationnels décimaux, les difficultés portent, entre autres, sur le passage d’une écriture fractionnaire à une écriture à virgule (par exemple, passer de 1/4 à 0,25) et sur la reconnaissance d’écritures différentes d’un même nombre, comme par exemple 5/10 et 50/100 ou comme 3/4 et 6/8. Toujours en fin d’école, une proportion importante d’élèves échoue dans le calcul posé ou mental d’une soustraction ou d’une multiplication mettant en jeu des décimaux (Chesné, 2014) et il en est de même pour le calcul posé de divisions euclidiennes et décimales (Grapin, 2015).

Si les techniques du calcul posé s’appuient principalement sur les propriétés de numération décimale, le calcul réfléchi demande de mobiliser les propriétés arithmétiques des nombres et des opérations, et de réécrire correctement les expressions. Par exemple, pour calculer 45 × 21, on peut d’abord décomposer 21 sous la forme 20 + 1 puis calculer la somme 45 × 20 + 45. Les difficultés peuvent alors être liées non 7 seulement à la maîtrise des « tables » mais aussi à la connaissance des propriétés des opérations (45 × 21 ≠ 45 × 20 +1) et à la réécriture : écrire 45 × 21 = 45 × 20 = 900 +45 = 945 est faux en mathématiques).

En ce qui concerne la résolution de problèmes « arithmétiques verbaux » (Feyfant, 2015), de nombreux travaux en didactique des mathématiques et en psychologie cognitive ont été menés pour étudier les processus cognitifs et les procédures mathématiques impliqués dans cette résolution. Les performances des élèves vont ainsi dépendre de la compréhension de l’énoncé du problème, l’interprétation qu’ils font du problème, leur capacité à mettre en relation les données sémantiques du problème avec un système de représentation (schéma ou écriture arithmétique par exemple), etc.

Pour une synthèse sur ces questions, nous renvoyons le lecteur au dossier de veille de l’Institut français de l’Éducation (Ifé) rédigé par Feyfant (2015), mais nous soulignons pour conclure que, si la résolution de problèmes reste difficile pour les élèves, elle soulève aussi de nombreuses questions quant à son enseignement (Houdement, 2017).

Enfin, il est difficile de dresser un état des lieux sur la maîtrise du calcul instrumenté en fin d’école puisqu’il est peu évalué dans les évaluations nationales : en 2008, l’évaluation Cedre3 avait montré qu’environ 85 % des élèves maîtrisaient l’usage de la calculatrice, mais en 2014, lors de la dernière passation du Cedre, l’utilisation de la calculatrice n’était pas proposée (Dossier de la Depp, 2017).

Calcul littéral et algèbre au collège

Les mathématiques peuvent être traumatisantes pour des élèves, en particulier en ce qui concerne l’entrée dans l’algèbre. De nombreuses recherches en didactique ont été menées et se poursuivent pour comprendre les processus de conceptualisation des nombres et du calcul dans la transition entre l’arithmétique et l’algèbre, et les difficultés rencontrées par les élèves (Kieran, 1992, 2007 ; Vergnaud et al., 1987) ainsi que celles d’enseignement (Chevallard, 1985, 1989 ; Grugeon, 1997 ; Assude et al., 2012).

Des recherches sur la conception d’outils numériques et leur usage favorisant les apprentissages en algèbre ont été menées (Cerulli & Mariotti, 2002 ; Kieran & Yerushalmy, 2004 ; Yerushalmy, 2005). Le calcul littéral concerne à la fois, le calcul sur les expressions littérales et les équations, en appui sur les propriétés liées à ces objets algébriques, leurs différentes représentations dans différents registres de représentation, mais aussi la résolution de différents types de problèmes. Comment amener les élèves à passer d’une activité arithmétique sur le calcul de nombres et la résolution de problèmes numériques à une activité algébrique ?

Bednarz et al. (1996) identifient trois principales entrées :  l’entrée par la généralisation (en France, depuis 2006), demandant de produire une expression algébrique généralisant un phénomène. Ce peut être pour montrer que deux programmes de calcul conduisent toujours à des résultats égaux quand on choisit le même nombre de départ.

Par exemple, les programmes P1 « Choisir un nombre, lui ajouter 6, multiplier le résultat par le nombre choisi, soustraire 3 » et P2 « Choisir un nombre, multiplier par 2, soustraire 1, multiplier le résultat par 3, ajouter le carré du nombre choisi » aboutissent au même résultat pour un même nombre de départ. En effet, si on appelle x le nombre de départ, l’expression du résultat est (x + 6) × x – 3 pour P1 et (2x -1) × 3 + x² pour P2 et comme (x + 6) × x – 3 = (2x – 1) × 3 + x², pour toutes valeurs de x, on en déduit que les programmes sont équivalents. La lettre x dans ce cas a le statut de nombre généralisé ou d’indéterminée.