Notions de base sur les filtrations et les chaînes de Markov

 Principales notations et définitions

Nous commençons par donner les notations et définitions de base concernant les objets de notre étude. Étant donnée une variable aléatoire X à valeurs dans un espace mesurable (E, E) et définie sur un espace de probabilité (X , A, P), on note L(X) la loi de X, c’est-à-dire la mesure de probabilité sur (E, E) définie par ∀A ∈ E, L(X)(A) := P(X ∈ A). On note également Σ(X) la sous-tribu engendrée par X, qui peut être définie par Σ(X) := {X −1 (A) : A ∈ E }. Définition 1. Un processus stochastique sur un espace de probabilité (X , A, P) une famille de variables aléatoires X = (Xn)n∈T où chaque Xn est à valeurs dans un espace mesurable .

Chaînes de Markov

Une classe importante de processus sont les processus markoviens. Ces derniers peuvent être à valeurs dans un espace d’état infini d’où la nécessité de les définir de manière générale grâce au noyau de transition. Définition 5 (Noyau de transition markovien). Soit (X , A) et (Y, B) deux espaces mesurables. Une fonction Q : X × B → [0, 1] est appelée noyau de transition de (X , A) à (Y, B) si les conditions suivantes sont réalisées : • pour tout B ∈ B, l’application x 7→ Q(x, B) est A-mesurable. • pour tout ∀x ∈ X , l’application B 7→ Q(x, B) est une mesure de probabilité sur (Y, B).

Autrement dit on associe à n’importe quel point x ∈ X une mesure de probabilité Q(x, .) de sorte que la dépendance en x soit A-mesurable. 18 Définition 6 (Chaînes de Markov homogène). Soit (X , A) un espace mesurable métrique séparable et soit Q un noyau de transition markovien de (X , A) sur lui même. Une chaîne de Markov homogène de noyau de transition Q est un processus stochastique (Xn)n∈T à valeurs dans (X , A),

qui satisfait, pour tout n ∈ T tel que n + 1 soit aussi dans T : ∀A ∈ A : P(Xn+1 ∈ A/(Xm)m≤n) = P(Xn+1 ∈ A/Xn) = Q(Xn, A) p.s. Pour une chaîne de Markov homogène on a simplement : ∀n, L(Xn+1/(Xm)m≤n) = L(Xn+1/Xn) = Q(Xn, .). Un noyau de transition Q de (X , A) sur lui même induit une transformation Q∗ agissant sur les mesure de probabilité µ sur (X , A) en donnant une nouvelle mesure Q∗µ définie par la formule suivante : ∀A ∈ A : P(X1 ∈ A) := Q∗µ(A) = Z x∈X Q(x, A)dµ(x). Si (Xn) est une chaîne de Markov homogène de noyau de transition Q, et si µ désigne la loi de Xn alors L(Xn+1) = Q∗µ et L(Xn+k) = Qk ∗µ.

On dit qu’une mesure µ est invariante par un noyau de transition Q quand Q∗µ = µ. Si X est un espace métrique compact, l’espace M(X ) des mesures de probabilité sur X est muni de la topologie faible-étoile caractérisée par µn −→ µ si et seulement si pour toute fonction continue f : X → R, R X f dµn → R X f dµ. Cette topologie fait de M(X ) un espace métrisable compact. Le noyau de transition Q est dit ergodique au sens de Markov si il existe une mesure de probabilité invariante µ telle que, pour toute mesure µ0 ∈ M(X ), on a la convergence Qk ∗µ0 −→ µ quand k → ∞. Ceci implique en particulier l’unicité de la mesure invariante