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Critère Minimax Asymptotique Local (LAM)
Dans les modèles classiques (paramétriques), plusieurs méthodes d’estimation ont été étudiées par exemple : maximum de vraisemblance, moindres carrés, estimateurs des moments,. . . Au contraire, dans les modèles semi paramétriques il n’y a pas encore une méthode générale pour la construction des estimateurs e¢ caces. Une approche qui o¤re beaucoup de lumière p dans la structure de l’e¢ cacité et la n -consistance de l’estimateur pour les modèles semi paramétriques est basée sur les bornes d’information. Dans des modèles semiparamétrique on peut dé…nir une borne d’e¢ cacité pour les estimateurs analogue à la borne de Cramer-Rao pour les modèles paramétriques. Ces bornes ne se contentent pas de donner une référence pour mesurer l’e¢ cacité asymptotique d’estimateurs semi paramétriques, elles peuvent aussi suggérer des moyens de construire ces estimateurs.
Sous la structure LAN, un critère d’e¢ cacité asymptotique, souvent considéré dans la littéra-ture statistique, est le critère minimax asymptotique locale (voir Hajek (1972) pour l’exposé détaillé de la théorie et son histoire). Avant de présenter cette borne asymptotique, on donne la dé…nition d’un estimateur régulier.
La condition de discrétisation est due à Lecam (1960), elle permet d’éviter certains compor-tements pathologiques. Cette condition est cependant sans aucune conséquence pratique : à n …xé, elle n’a pas de réelle signi…cation.
En…n, signalons que dans les di¤érents chapitres, nous allons utiliser une technique qui consiste à remplacer, dans des équations stochastiques, une suite de nombres réels par une suite de variables aléatoires. Cette technique est basée sur le lemme 4.4 de Kreiss (1987) que nous rappelons ici.
Introduction
Le modèle Autorégressif exponentiel, (EXP AR), appartient à la classe des modèles Au-torégressifs non linéaires. Il a été introduit par Ozaki (1978) et Haggan et Ozaki (1981) pour la modélisation et la prévision des données cycliques et pour reproduire quelques caractéris-tiques de la théorie des vibrations aléatoires non linéaires comme la fréquence dépendante de l’amplitude, les phénomènes de saut et les comportements de cycle limite. Il possède aussi plusieurs caractéristiques encourageantes, en e¤et, ozaki en (1993) a montré qu’un modèle EXP AR peut capturer les caractéristiques non gaussiennes de la série. Dans le même ou-vrage une relation étroite entre les modèles EXP AR et la famille exponentielle est souligné, ozaki a montré que pour une distribution donnée de la famille exponentielle on peut intro-duire un modèle EXP AR dont la distribution marginale est très proche de la distribution donnée. Plusieurs articles ont traités les problèmes de stationnarité, d’ergodicité géométrique, d’estimation, de prévision et de test pour ces modéles comme : Ozaki (1982; 1985), Tjøstheim (1986), Chan et Tong (1985), Al-Kassam et Lane (1989), Koul et Schick (1997) et Allal et El Melhaoui (2006), en plus cette classe de séries temporelles non linéaire a été appliquée avec succès dans plusieurs domaines comme en écologie (Haggan et Ozaki ; 1981, Priestley ; 1988), hydrologie (Ozaki ; 1985), signal vocal ( K. Ishizuka, H. Kato et T. Nakatani ; 2005) et macroéconomie (N. Terui et H.K. Van Dijk ; 1999, E. Amiri ; 2012).
Dans la section 2:1, on donne les dé…nitions de base de cycle limite, du point …xe et du modèle EXP AR (p) ainsi que les conditions de stationnarité stricte et d’ergodicité géomé-trique pour l’EXP AR (1) : L’estimation des paramètres est discutée à la section 2:2 avec plusieurs méthodes. En …n, dans la section 2:3, on présente le modèle EXP AR(1) restreint avec son estimation par les moindres carrés.
Modèles et dé…nitions de bases
Définitions
Dans cette section on donne les dé…nitions explicites des points singuliers ou …xes et des cycles limites d’une équation (temporelle) de di¤érence discrète générale : xt = f (xt 1; :::; xt p) : (2.2.1)
Un point …xe de l’équation (2:2:1) est un point ; pour lequel chaque trajectoire de l’équation (2:2:1) commençant su¢ samment prés de l’approche soit pour t ! 1 ou t ! 1: Si la trajectoire approche pour t ! 1 on dit un point …xe stable, et si elle l’approche pour t ! 1 on dit un point …xe instable.
Définition 2.1.2 cycle limite :
Un cycle limite de l’équation (2:2:1) est une trajectoire fermée isolée xt+1; :::; xt+q; où q est un entier positif.
« Fermée » signi…e que si les valeurs initiales (x1; :::; xp) appartiennent au cycle limite, alors (x1+kq; :::; xp+kq) = (x1; :::; xp) quelque soit l’entier k. Autrement dit la trajectoire fermée re-vient à la condition initiale après un certain temps. « Isolée » signi…e que toutes les trajectoires commençant su¢ samment prés du cycle limite l’approchent soit pour t ! 1 ou t ! 1 c’est à dire les trajectoires voisines ne sont pas fermées, elles spirales autour du cycle limite en s’en éloignant ou en s’en approchant. Si les trajectoires approchent le cycle limite pour t ! 1, le cycle est dit stable ou attractif sinon, il est dit instable. Le plus petit entier q qui satisfait la dé…nition 2:1:1 est appelé la période du cycle limite de l’équation (2:2:1). Ozaki (1985) a noté que le point …xe peut être considéré comme un cycle limite de période 1 mais il le distingue car il a une signi…cation physique di¤érente.
Méthode des moindres carrés conditionnels
Tjøstheim (1986) a traité le problème d’estimation des séries temporelle non linéaire dans un cadre général. Son approche est basée sur le développement de Taylor de la fonction de pénalité générale qui est par la suite spécialisé à un critère de type moindres carrés conditionnelle (MCC) et maximum de vraisemblance (MV). Dans le cas des MCC son travail est une généralisation de l’approche de Klimko et Nelson (1978) au cas multivarié.
Autres méthodes d’estimation
Dans le même article de (1986), Tjøstheim a démontré les théorèmes (5.1) et (5.2) qui donnent les estimateurs du maximum de vraisemblance (MV) ainsi que leurs propriétés asymptotique, pour les modèles de séries temporelles non linéaires générales. Il su¢ t d’appli-quer ces résultats aux modèle EXP AR en véri…ant les conditions E1 E3 et F 1. Amondela et Francq (2009) ont obtenu des résultats similaires, avec des conditions légèrement di¤érentes, en montrant l’existence des estimateurs quasi MV pour l’EXP AR (1) (page 30).
Shi et Aoyama (1997), Baragona et al. (2002) et Gurung (2013) ont utilisé l’algorithme génétique (AG) pour estimer les paramètres des modèles EXP AR(p). L’algorithme génétique est une classe de procédures d’optimisation globale distinguée des autres techniques d’optimisation en utilisant des concepts de la génétique. Le principe de cette méthode mé-taheuristique est de partir d’une population initiale c’est à dire un ensemble de solutions du problème d’optimisation posé et qui forme la première génération ensuite la faire évoluer au sens darwinien : sélection naturelle, croisement et mutation jusqu’a obtenir une population relativement stable et ayant une adaptabilité (…tness cost) optimal (max /min) par rapport aux générations précédentes. Gurung (2013) ; en modélisant les données d’averse annuelles de l’Inde entre 1901 à 1995, a utilisé l’AG avec l’AIC comme fonction objective a minimisé et a identi…é l’EXP AR(1) comme étant le meilleur modèle. Ce dernier a été utilisé pour la prévision entre 1996 à 2003 et a montré sa supériorité par rapport au modèle ARIM A sélectionné pour les mêmes données.
Le modèle EXP AR appartient à la famille des modèles autorégressifs à coe¢ cient fonc-tionnels (F CAR), donc les méthodes d’estimations utilisées pour les F CAR sont applicables pour les modèles EXP AR, comme la méthode bayesienne dans Song et al (2014) et la tech-nique de régression linéaire locale dans Cai et al (2000).
Estimateur en temps réel Les procédures d’estimation proposés impliquent des di¢ cul-tés de calcul, par exemple la méthode du MV consomme beaucoup de temps et la fonction objective pour n’est pas convexe et plusieurs optimum locales peuvent exister, par consé-quent, il n’y a aucune garantie que l’algorithme converge à l’optimum globale (Shi et al (2001)). En plus, ces procédures ne sont pas approprié pour l’utilisation dans les systèmes industriels (processus de contrôle statistique) où la mémoire est importante par exemple Messaoud (2006) a modélisé ses données avec un EXP AR (40) et a estimé les 81 para-mètres avec la procédure d’estimation en temps réel. Le but important de cette approche est la détermination rapide du coe¢ cient non linéaire . L’estimation des autres coe¢ cients du modèle est seulement un problème de moindres carrés linéaire dès que est déterminé. Shi et al (1998) ont noté qu’en termes du mécanisme du modèle EXP AR pour révéler un cycle limite ou un comportement cyclique, le paramètre d’échelle prend le rôle d’ajuster les racines instantanées. Dés que l’état Xt 1 s’éloigne trop du point d’équilibre.
Test de la périodicité dans un modèle EXPAR
Puisque le modèle autorégressif exponentiel périodique compte plus de paramètres que son analogue traditionnel et donc il est plus compliqué, il semble très important de tester la périodicité des paramètres du modèle EXP AR. Ce chapitre est consacré au test d’un modèle EXP AR classique contre un modèle EXP AR périodique. La démarche se fonde sur la théorie asymptotique des expériences statistique de Le Cam (1960; 1986). Nous exploitons la propriété LAN, et ces conséquences : la convergence faible des expériences statistiques, la contiguïté et la linéarité asymptotique locale pour construire un test optimale au sens « most stringent ».
Normalité Asymptotique Locale du modèle P EXP AR(1) restreint
Le contexte historique, qui a introduit cette notion, était la convergence faible des ex-périences statistique et la première formulation remonte à Wald (1943). Depuis les années 1960, ce concept a connu un développement considérable et sophistiqué dû à Le Cam, qui a introduit le terme de Normalité Asymptotique Locale (LAN). cette propriété traduit deux idées : la première est que l’information amenée par l’observation est su¢ sante pour produire des estimateurs assez précis des paramètres du modèle et la deuxième traduit le fait que dans un voisinage de ces paramètres, la famille de probabilité peut être approché assez …nement par une expérience gaussienne de nature plus simple.
La propriété de normalité asymptotique locale est à la base de plusieurs résultats de recherche liés à l’étude des modèles de séries temporelles, nombreux chercheurs se sont inté-ressés à la dérivation de la propriété LAN pour divers modèles. On cite notamment : Roussas (1979) pour les modèles Autorégressifs d’ordre un, Akritas et Johnson (1982) pour le modèle autorégressif général, Swensen (1985), qui en démontrant la propriété LAN pour les modèles AR avec tendance linéaire, a donné un résultat fort et très utilisé, il s’agit du lemme qui per-met d’avoir cette propriété en véri…ant six conditions su¢ santes, Kreiss (1987) pour le modèle ARM A, Linton (1993) pour les modèles ARCH, Bengabrit et Hallin (1998) pour les modèles bilinéaires, Bentarzi et Hallin (1996) pour les modèles AR périodiques, Garel et Hallin (1995) pour les modèles ARM A multivariés, Koul et schick (1996; 1997) pour le modèle AR d’ordre un à coe¢ cient aléatoire, le modèle SET AR(2; 1; 1) et le modèle EXP AR (1), Bentarzi et Merzougui (2009; 2010) pour les modèles P SET AR(2; 1; 1)S et P ARCH(q)S…etc.
Table des matières
Introduction
1 Théorie asymptotique de LeCam
1.1 Normalité asymptotique locale (LAN)
1.1.1 Convergence faible des expériences statistiques
1.1.2 Contiguïté
1.2 Concepts d’optimalité asymptotique locale
1.2.1 Test le plus stringent
1.2.2 Critère Minimax Asymptotique Local (LAM)
2 Modèle AutoRégressif EXPonentiel EXPAR(p)
2.1 Introduction
2.2 Modèles et définitions de bases
2.2.1 Définitions
2.2.2 Modèles Autorégressifs Exponentiels
2.2.3 Conditions de stationnarité
2.3 Estimation des modèles EXPAR
2.3.1 Procédure d’estimation donnée par Haggan et Ozaki 1981
2.3.2 Méthode des moindres carrés conditionnels
i2.3.3 Autres méthodes d’estimation
2.4 Modèle EXPAR(1) restreint
3 Test de la périodicité dans un modèle EXPAR 21
3.1 Notations, Définitions et conditions de régularités
3.1.1 Définitions et notations principales
3.1.2 Hypothèses de régularités techniques
3.2 Normalité Asymptotique Locale du modèle PEXPAR(1) restreint
3.2.1 Suite de Rapports de Vraisemblance
3.2.2 Normalité Asymptotique Locale
3.3 Test Asymptotique Locale (le plus Stringent)
4 Estimation du modèle PEXPAR(1) restreint
4.1 Introduction
4.2 Estimation du modèle PEXPAR(1) par la méthode de MCO
4.2.1 Notation et hypothèses
4.2.2 Estimation
4.2.3 Résultats de simulations :
4.3 Estimateur Localement et Asymptotiquement Minimax LAM
4.3.1 Normalité Asymptotique Locale
4.3.2 Existence et construction d’estimateurs LAM
Conclusion et perspectives
