Nombre P-adiques et anneau de Galois

Construction: Etude de la catégorie des anneaux topologiques

 On appelle anneau topologique un ensemble A muni d’une structure d’anneau et d’une topologie satisfaisant aux conditions suivantes: a) Les applications: (x,y) x+y et (x,y) x.y de AxA dans A sont continues. b) L’application: x -x est continue aussi. Définition I.I.2: On appelle sous-anneau topologique, un sous-anneau d’un anneau topologique, muni de la topologie induite. Catégorie des anneaux topologiques Les objets de cette catégorie sont les anneaux munis d’une topologie et les morphismes seront les homomorphismes d’anneaux qui sont continus pour la topologie en question. La loi de composition * dans cette catégorie sera la composition des homomorphismes continus d’anneaux.

Définition I.I.3: Soit I un ensemble pré-ordonné1 ,et soit ζ est une catégorie; on appelle système projectif indexé par I la donnée pour tout iєI d’un objet Mi de ζ, tel que pour tout couple (i,j)єI,2 tels que i≤j et d’un morphisme 1 é-ordonné: Nombre P-adiques et anneau de Galois 8 fijєHomζ(Mj,Mi) dit morphisme de transition tel que pour i≤j≤k le diagramme: Mk fjk Mj soit commutatif c’est à dire: fik=fij*fjk et tel que fii=IMi quel que fik fij Mi soit iєI, alors, un tel système projectif sera noté (Mi,fij)(i,j)єI2 Définition I.I.4: soit ζ une catégorie et soit (Mi,fij)(i,j)єI 2 un système projectif indexé par I; On appelle limite projectif de ce système la donnée d’un objet M de ζ et pour tout iєI d’un morphisme fi: M Mi, satisfaisant aux conditions suivantes: a) Pour tout iєI, et tout jєI tel que i ≤j le diagramme: fj M Mj fi Mi fjj est commutatif c’est à dire fij*fj=fi. b)

Pour tout NєOb(ζ) et pour toute famille (gi)i є I où gi є Homζ(N, Mi)iєI, tel que i≤j le diagramme: N Mj gj . Mi fi . . . .. 9 . est commutatif. i.e: gi=fi*gi et il existe un unique homomorphisme g de Homζ (N,M), tel que pour tout iєI, le diagramme ci-après g N M gi fi . Mi est commutatif i.e:gi=fi*g Notation: Une limite projective du système (Mi,fij)i,j є I sera notée : (M,(fi)i єI)=lim(Mi,fij)i,j є I

Théorème I.I..1: La limite projective est unique à isomorphisme près. On se propose de démontrer d’abord le lemme suivant: Lemme I.I.1: soit (Mi, fij)(i,j)єI2, un système projectif indexé par I de la catégorie des anneaux topologiques, et soit M={(xi)iєIє(ПMi/ifij(xj)=xi}, muni de la topologie produit, et pour tout iєI, la restriction à M de la ième projection: Pi: ПMk Mi tel que : (xk)k xi, alors (M,(fi)i єI) est une limite projective du système projectif (Mi, fij)i,j єI.

Démonstration

Comme fi est la restriction à M de la ième projection, alors les fi sont des homomorphismes continus d’anneaux, car les ième projections le sont. 10 Si i ≤j, alors le diagramme: . M fj Mj fi fij . Mi . . est commutatif car: soit ((xk)kєI)єM, alors: fij((xk)k)=fij(fj(xk)kєI)=fij(xj)=xi=fi((xi)i єI) et soit N un anneau t opologique quelconque et (gi)iєI une famille d’homomorphismes continus d’anneaux topologiques tels que quel que soit iєI; gi: N. Mi, alors le diagramme N . gi Mj.. g. Mi. fij est commutatif.

Montrons qu’il existe un morphisme g: N M et un seul tel pour tout iєI le diagramme soit commutatif. Existence de g: Analyse: supposons que il existe g tel que le diagramme suivant: N g M 11 gi Ni fi est commutatif, c’est à dire que, quel que soit iєI, quel que soit bєN, fi*g(b)=gi(b) Or fi: MСПMk(kєI) Mi est la projection canonique donc g(b) est de la forme g(b)=(ak)kєI, comme fi*g(b)=fi*(g(b))=fi((ak)kєI)=ai=gi(b) =>g(b)=(gk(b))kєI. g vérifie donc la commutativité du diagramme, car quel que soit iєI, quel que soit bєN, fi*g(b)=fi(gk(b))kєI=gi(b) donc (Mi,fij)iєI=lim(Mi, fij)i,jєI. Proposition I.I.2: Soit P un nombre premier, quel que soit n≥m≥0 et pour tous m, nєN considérons l’anneau An=Z/pn+1Z, muni de la topologie discrète alors: la correspondance ψmn: An Am définie par xn xm où pour tout xєZ, xm désigne la classe de x modulo Pn+1 et xm désigne celle de x modulo Pm+1. Cette correspondance est un homomorphisme d’anneaux qui est continu