ne méthode multiéchelle pour le couplage flambage-délaminage

Stratégie de résolution numérique

Les points clefs concernant la séparation des échelles micro-macro de la straté-gie sont ici détaillés ainsi que l’algorithme de résolution basé sur la méthode La-TIn. Ensuite, l’introduction de la troisième échelle dans la résolution du problème macroscopique est décrite. Enfin, nous présentons quelques précisions concernant l’implantation de l’approche dans le code orienté objet développé au LMT-Cachan.

Choix des espaces d’approximation

Les problèmes sur les sous-structures et les interfaces sont résolus numérique-ment en utilisant une technique éléments finis standard. Ainsi, le déplacement uE appartient à UEh, espace des déplacements linéaires par morceaux sur E . Les élé-ments utilisés pour discretiser les sous-structures dans les cas 3D ici traités sont des tétraèdres à 4 nœuds et des wedges à 6 nœuds. Dans le cadre de la méthode de décomposition de domaine mixte, une attention particulière doit être portée à la discrétisation des champs d’interface.
Si l’on choisit des éléments finis P1 pour les déplacements, un choix naturel est de prendre des fonctions constantes par morceaux comme espace d’approximation pour les interefforts. Cependant, une telle discrétisation génère des modes d’oscillation parasites qui conduisent à des instabilités numériques. Une démarche usuellement retenue pour éviter ces inconvénients est de choisir les champs F E et W E dans le même espace de fonctions constantes par morceaux sur E (WEh = FEh) et de pra-tiquer une surdiscrétisation des champs déplacement de sous-structures [Ladevèze et al., 2002; Nouy, 2003]. Deux solutions sont proposées pour effectuer cette dernière étape. On peut choisir soit de raffiner localement, près des bords, le maillage des sous-structures (solution de type « h »), soit d’augmenter le degré d’interpolation des fonctions de forme des éléments de bord des sous-structures (solution de type p ») (voir Fig. 5.5). On utilise, pour les travaux présentés dans ce mémoire, le raffinement de type « h ».

Introduction de l’échelle macroscopique

Pour garantir l’extensibilité numérique de la méthode, [Ladevèze et Nouy, 2003] proposent d’imposer systématiquement, lors de la résolution des problèmes sur chaque sous-structure, la vérification de contraintes d’admissibilité globales. Dans un but d’efficacité, cette vérification est faite uniquement sur des quantités macro-scopiques d’interface, lesquelles doivent transmettre les variations de la solution à grande longueur d’onde pour assurer le transfert d’information entre sous-structures. La construction du problème macroscopique sur les interfaces implique le calcul d’un comportement homogénéisé des sous-structures.
Construction de la base macroscopique linéaire. Aucune contrainte n’est a priori imposée pour le choix des espaces macroscopiques. Cependant, pour as-surer l’extensibilité numérique de la stratégie, la base macroscopique doit pouvoir extraire les résultantes et moments des efforts ainsi que les translations et rotations des déplacements. D’après la propriété de découplage, les parties complémentaires microscopiques sont alors à résultante et moment nuls. Le principe de Saint-Venant assurant qu’un effort à résultante et moment nuls a un effet localisé, les parties mi-croscopiques ont un effet local tandis que les quantités macroscopiques possèdent l’information globale la plus pertinente.
Des études numériques précédentes montrent que l’extraction des parties linéaires des champs d’interface permet d’obtenir l’extensibilité de la méthode, les détails de la construction d’une base macroscopique linéaire pour des interfaces quelconques dans le cadre de la résolution de problèmes tridimensionnels peuvent être trouvés dans [Violeau, 2007]. Les grandes idées de cette construction sont ici rappelées.
Remarque : Pour une interface plane, le produit scalaire N3 ·GE0E00M, où N3 est la normale à l’interface, est nul. N3 est ici colinéaire au vecteur propre associé à la plus grande valeur propre de la matrice d’inertie IE0E00. Des six fonctions de base macroscopique correspondant à des modes de déformation de l’interface, trois sont nulles. La base macroscopique d’une interface plane est donc composée de seulement neuf vecteurs (voir Fig. 5.6).
Une augmentation du nombre de fonctions de base macroscopique a été étu-diée dans [Ladevèze et al., 2001] afin d’apporter un enrichissement quadratique ou cubique. Il a été alors montré que ces améliorations jouent très peu sur la conver-gence de la solution et ne sont donc pas nécessaires. Cependant, l’utilisation d’une base macroscopique discontinue peut s’avérer très judicieuse dans le cas de fissures traversant une interface [Guidault et al., 2008]. [Kerfriden et al., 2009] ont montré que l’utilisation d’une base macroscopique complète (sur tous les degrés de liberté d’interface, ce qui revient à calculer le complément de Schur de la sous-structure associée) assure un taux de convergence optimal de la stratégie, mais alourdit les calculs.

Admissibilité macroscopique

La définition du problème macroscopique de l’approche micro-macro nécessite de donner des conditions d’admissibilité des champs macroscopiques d’interface vé-rifiant les problèmes posés sur les sous-structures.
Il faut néanmoins noter que, à part les interfaces parfaites, la solution du pro-blème ne vérifie pas forcement les conditions de transmission décrites par WadM , c’est le cas pour des interfaces de contact et cohésives. En revanche, pour n’im-porte quel comportement d’interface, l’équilibre des interfaces est toujours vérifié, Stratégie multiéchelle pour l’analyse du couplage flambage-délaminage de composites stratifiés ce qui explique que la version de l’approche micro-macro qui utilise les conditions d’admissibilité décrites par FadM est classiquement retenue. Cependant, dans certains cas, comme nous verrons dans la Sec. 3.1 du Chap. 3, l’absence de contrainte ma-croscopique portant sur les déplacements macroscopiques d’interface conduit à des difficultés numériques.

Algorithme itératif de résolution

Pour la résolution des problèmes non linéaires sous-structurés, à chaque pas de temps du schéma d’intégration, les équations portant des non-linéarités géométriques et surfaciques sont séparées en deux groupes distincts :
– Équations d’admissibilité non linéaires des sous-structures et admissibilité macroscopique des interfaces :
◦ admissibilité cinématique non linéaire des sous-structures, Éqs. (5.2), (5.3) ;
◦ admissibilité statique non linéaire des sous-structures, Éq. (5.4) ;
◦ comportement des sous-structures, Éq. (5.5) ;
◦ admissibilité statique macroscopique, Éq. (5.9).
– Équations locales (éventuellement non linéaires) sur les interfaces :
– comportement des interfaces, Éqs. (5.6), (5.7).