MPR et modes de justification de l’élève relatifs aux figures planes de la géométrie « à la Euclide »

Organisation du savoir géométrique

Nous considérons que le domaine mathématique est composé de praxéologies globales dont la géométrie et l’algèbre. Nous distinguons ensuite deux praxéologies régionales qui composent la praxéologie globale de la géométrie : une praxéologie régionale relative aux figures géométriques planes (triangles, quadrilatères, polygones à plus de quatre côtés, etc.) et une praxéologie régionale relative aux solides géométriques. Nous nous intéressons à la praxéologie régionale des figures géométriques planes. Nous définissons alors cinq praxéologies locales qui caractérisent l’activité géométrique (cf. image 4.1) :

— une praxéologie locale 1 relative à la construction de figures géométriques ; — une praxéologie locale 2 relative à la preuve mettant en jeu des figures géométriques ; — une praxéologie locale 3 relative au calcul de grandeurs de figures géométriques ; — une praxéologie locale 4 relative à la représentation des figures géométriques ; — une praxéologie locale 5 relative à la modélisation par des figures géométriques.

Image 4.1 – Organisation praxéologique de la géométrie Comme nous l’avons vu dans les chapitres précédents, nous nous intéressons à la praxéologie locale 1 relative à la construction de figures planes en lien avec la praxéologie locale 2 relative à la preuve. En particulier, dans la suite de cette thèse, nous nous limiterons à la construction des triangles et des quadrilatères qui sont des objets de base de la géométrie euclidienne (et particulièrement les triangles) mais aussi des programmes scolaires.

 La praxéologie locale relative à la construction de figures planes 

Types de tâches

Nous avons fait le choix de ne pas considérer les différentes figures géométriques plane (triangles, quadrilatères, etc.) à un niveau régional. Chacune des praxéologies locales que nous avons définies doit donc d’abord se décomposer selon la figure plane en jeu. Les principaux types de tâches génériques constitutifs de la praxéologie locale 1 relative à la construction de figures géométriques planes sont donc : — Exécuter un programme de construction. — Construire un point. — Construire une droite. — Construire un cercle. — Construire un triangle. 

— Construire un quadrilatère. — Construire un polygone à plus de quatre côtés. — Construire une figure composée (par exemple : configurations de droites, un carré et un demi-cercle, plusieurs triangles, etc.). Nous nous concentrons sur les types de tâches génériques « construire un triangle » et « construire un quadrilatère ». De plus, comme nous l’avons vu au début du chapitre 3, nous n’abordons pas ici la question de la construction des figures géométriques à partir des transformations du plan.

Construire un triangle

À partir du types de tâches générique « construire un triangle », nous faisons un premier découpage selon la nature du triangle à construire. Nous obtenons ainsi une partition de l’ensemble des triangles qui correspond aux types de tâches suivants : — Construire un triangle scalène non rectangle. — Construire un triangle isocèle non rectangle non équilatéral. — Construire un triangle équilatéral. — Construire un triangle rectangle non isocèle. — Construire un triangle rectangle isocèle. Nous faisons ensuite un deuxième découpage selon les données pour la construction en faisant le choix de caractériser les triangles à partir de leurs angles et de leurs côtés.

Il est à noter que ces types de tâches sont décrits d’un point de vue institutionnel, les énoncés des tâches effectivement données aux élèves peuvent avoir des sens différents. Par exemple, nous définissons le type de tâches « construire un triangle équilatéral, un côté et un angle de 60◦ étant donnés » tandis que les élèves devront résoudre une tâche avec un énoncé du type « construire un triangle ABC isocèle en A à partir du côté [AB] donné et tel que BAC ˆ︁ = 60◦ ». Dans le cas général, nous supposons que la nature du triangle indiqué dans le type de tâches est donnée dans l’énoncé (soit par le texte, soit par un schéma, soit par une propriété caractéristique) et nous mentionnons explicitement, comme dans cet exemple, les cas particuliers.

 Construire un quadrilatère

Concernant la construction des quadrilatères, nous considérons en particulier les parallélogrammes (dont les parallélogrammes particuliers) puisque ce sont les seuls quadrilatères présents dans les programmes de 2020 des cycles 3 et 4. Nous nous concentrons donc sur les types de tâches : — Construire un parallélogramme non rectangle, non losange. — Construire un rectangle non carré. — Construire un losange non carré.

— Construire un carré. De nouveau, nous décrivons les types de tâches d’un point de vue institutionnel, ils ne correspondent donc pas forcément à l’énoncé donné à l’élève. Nous nous appuyons sur le schéma 4.2 pour pouvoir exprimer plus facilement les (sous-)types de tâches du type de tâches « construire un parallélogramme » qui sont : — Construire un parallélogramme, deux côtés adjacents et l’angle entre les deux étant donnés (AB, AD et DAB ˆ︂).