Mouvements browniens sur des surfaces irrégulieres

Mouvements browniens sur une varieté riema- nienne On considere une vari èté [105, 51] de base B, de dimension d, munie d’une metrique riemanienne g. Nous allons voir comment on peut definir un mouve- ment brownien dans la metrique g, en commenc¸ant par le cas ou` g ne depend pas du temps.

Mouvement brownien dans une metrique ind épendante du temps

La metrique g induit un elément de volume appel é dVol g sur B [51]. Considerons un systeme de coordonn èes arbitraire C defini sur B, et soient x = (x i ), i = 1, …, d, les coordonnees associ ées a` C. On a, dans C: dVolg = q detgi jd d x, (1.1) ou les ` gi j representent les composantes de la m étrique g dans C.

Le mouvement brownien dans la metrique g peut etre d ˆ efini par l’ équation de transport verifi ée par sa densit é n par rapport a l’ èlément de volume dVol g [77, 78, 92, 58, 75, 97]: ∂tn = χ∆gn, (1.2) ou` χ est un coefficient de diffusion, et ∆g est l’operateur de Laplace-Beltrami associe la m étrique g [51]. Cet operateur s’ écrit, dans le syst éme de coordonn èes 27 Mouvements browniens sur des surfaces irrégulieres C: ∆gn = 1 p detgkl ∂i  p detgkl g i j∂jn  , (1.3) ou` ∂i = ∂/∂x i . L’equation (1.2) assure la normalisation de n par rapport a dVol ` g a` tout instant: Z B n dVolg = 1 ∀ t. (1.4) 

Mouvement brownien dans une metrique d épendante du temps

On se place maintenant dans le cas plus genéral o u la m ètrique g depend du temps. La definition établie pr écédemment pour un mouvement brownien dans g ne peut plus etre utilis ˆ ee, car l’ équation de transport (1.2) n’assure plus la normalisation de n par rapport a l’ èlément de volume dVol g(t) . En effet, on a: d dt Z B ndVolg(t) = Z B (∂tn) dVolg(t) + Z B n ∂tdVolg(t) = χ Z B  ∆gn  dVolg(t) + Z B n ∂tdVolg(t) = Z B n ∂tdVolg(t) . (1.5)

Or, comme la metrique g depend du temps: Z B n ∂tdVolg(t) , 0. (1.6) Nous avons ainsi eté amen és a construire une g ènéralisation simple de l’ équation (1.2), qui assure la conservation de la normalisation de n par rapport a dVol ` g lorsque g depend du temps. On introduit pour cela une m étrique ind épendante du temps quelconque sur B. Cette metrique est appel ée δ. L’elément de volume induit par δ sur B est note dVol δ.

Le mouvement brownien dans la metrique g(t) est defini par l’ équation de transport suivante pour sa densite n par rapport a dVol ` g(t) : 1 µg(t)|δ ∂t  µg(t)|δn  = χ∆g(t)n, (1.7) ou` µg(t)|δ est la densite de dVol g(t) par rapport a dVol ` δ, definie par: dVolg(t) = µg(t)|δdVolδ. (1.8) 28 L’equation (1.7) assure la normalisation de n par rapport a dVol ` g(t) a chaque ins- ` tant: Z B ndVolg(t) = 1 ∀ t. (1.9) En effet, on a, d’apres (1.8): ` Z B ndVolg(t) = Z B n µg(t)|δdVolδ. (1.10) On peut donc ecrire: d dt Z B n dVolg(t) = Z B ∂t  n µg(t)|δ  dVolδ = χ Z B ∆g(t)n µg(t)|δdVolδ = χ Z B  ∆g(t)n  dVolg(t) = 0. (1.11)

En transcrivant l’equation de transport (1.7) dans C, on obtient: ∂t  p detgkln  = χ∂i  p detgkl g i j∂jn  , (1.12) avec Z Rd n(t, x) q detgi j(t)d d x = 1 ∀ t. (1.13) L’equation (1.12) met en évidence que la définition (1.7) du mouvement brownien dans la metrique g(t) ne depend pas de la m étrique δ.

Comment comparer les mouvements browniens dans g(t) et dans g¯(t)? Considerons maintenant sur B deux metriques d épendant du temps g(t) et ¯g(t). Dans l’application de ces developpements a l’ ètude des di ffusions laterales sur des interfaces biologiques, la metrique g(t) represente la vraie g éométrie de l’interface biologique, et la metrique ¯ g(t) decrit la g éométrie moyenne de cette interface. Soit O un point quelconque de B et soit Bt le mouvement brownien dans la metrique g(t) qui part du point O a` t = 0.

La densite n de Bt definie par rapport a` l’elément de volume dVolg(t) verifie l’ équation de transport suivante: 1 µg(t)|δ ∂t  µg(t)|δn  = χ∆g(t)n, (1.14) 29 avec, a chaque instant: ` Z B ndVolg(t) = 1. (1.15) De fac¸on analogue, on considere le mouvement brownien ` B¯ t dans la metrique ¯ g(t) qui part du point O a` t = 0. On note ¯n la densite de B¯ t par rapport a l’ èlément de volume dVolg¯(t) . La densite ¯ n verifie l’ équation de transport suivante: 1 µg¯(t)|δ ∂t  µg¯(t)|δn¯  = χ∆g¯(t)n¯, (1.16) avec, a tout temps: ` Z B n¯dVolg¯(t) = 1. (1.17)

Pour comparer les mouvements browniens Bt et B¯ t , nous allons comparer leurs densites respectives, d éfinies par rapport a un èlément de volume de r éférence. Cet elément de volume de r éférence peut- étre tout ˆ a fait quelconque. Cepen- ` dant, un choix naturel pour l’elément de volume de r éférence est l’ élément de volume dVolg¯(t) , associe a la g èométrie moyenne, accessible aux observations, de l’interface.