Mouvement Brownien Fractionnaire

Introduction au mouvement Brownien Fractionnaire

Les processus autosimilaires sont invariants en loi sous une certaine échelle d’espace et de temps. Ils sont particulierèment importants en modélisation. Parmi eux, nous présenterons en particulier le mouvement brownien fractionnaire(mBf). En terme de modèle, dans la nature, l’autosimilarité est liée à un phénomène d’invariance et de persistance (appelé effet Joseph par Mandelbrot ). Il traduit un phénomène cyclique et de persistance dans un état. Historiquement, ce phénomène a été observé la première fois pour les crues du Nil dans les années 522-1284.

Ces observations ont été formalisées par Tousson en 1925 et montrent que les cumuls du niveau du Nil recentré témoignent d’une certaine persistance. Ces observations ont été poursuivies par un hydrologiste Hurst qui a mis en évidence des règles statistiques en hydrologie, fondée sur l’autosimilarité des processus sous-jacents.

Définition

Un mouvement brownien fractionnaire (mBf en abrégé ) B = (Bt)t≥0 d’indice de Hurst H ∈]0, 1[ est un processus gaussien centré dont la fonction de covariance est donnée par : E[B H t B H s ] = RH(t, s) = 1 2 (|t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H)

Propriétés 

Propriété d’autosimilarité

Définition 1.1. Un processus X est autosimilaire d’indice H si pour tout a > 0 : (Xat)t∈R a même loi que (a HXt)t∈R au sens de l’égalité des lois fini-dimensionnelles. Cette propriété montre qu’un changement d’échelle dans le temps est équivalent (en loi) à un changement d’échelle en espace. Attention, cependant au fait qu’il s’agit d’une égalité en loi et pas en trajectoire. Remarque 1.1. Un processus autosimilaire ne peut pas être en plus stationnaire car on aurait Xt = Xat = a HXt en loi. On a, en particulier E[Xt ] = a HE[Xt ], ceci donne une contradiction quand on fait tendre a H → ∞ (H>0).

Cependant, il existe un lien entre les processus autosimilaires et les processus stationnaires. Proposition 1.1. Le mBf d’indice H est H-autosimilaire et à accroissements stationnaires. Réciproquement, (Xt)t∈R est un processus gaussien H-autosimilaire et à accroissements stationnaires. Alors 0 < H ≤ 1, X(0) = 0 p.s