MOUVEMENT BROWNIEN

 La définition du mouvement brownien réel Soit (Ω, F,(Ft)t≥0,IP) un espace de probabilité filtré. Comme nous allons travailler avec des égalités presque sûres nous utilisons la filtration naturelle du chapitre précédant. C’est-à-dire que N = {A ∈ F : IP(A) = 0} ⊂ F0. Ainsi si X = Y IPp.s. et que X soit Ft-mesurable alors Y aussi sera Ft-mesurable X = Y IPp.s. si ∀ω ∈ Ω IP

Le mouvement brownien multidimentionnel

Définition 3.2.1 On appelle mouvement brownien de dimension d une famille de vecteurs aléatoires X = (Xt)t≥0 avec Xt = (X (1) t , X(2) t , …, X(d) t )t≥0 o`u les Xi 1 ≤ i ≤ d représentent des mouvements browniens indépendants construits sur l’espace de probabilité filtré (Ω, F,(Ft)t≥0,IP). La densité de X est : f(t, x) = 1 ( √ 2Πt) d exp(− |x| 2 2t ) Si µ est une loi de probabilité sur IRd X = (Xt)t≥0 un processus continu à valeurs IRd de densité f(t, x), tel que : 1. X0 a pour loi µ 2. Pour tout t0 = 0 < t1 < t2 < … < tk k ≤ d Xt0 ,(Xt1 − Xt0 ),(Xt2 − Xt1 ), …,(Xtk − Xtk−1 ) sont des variables aléatoires indépendantes telles que (Xti − Xti−1 ) ∼ Nd(0,(ti − ti−1)I (i = 1, 2, …, d) alors X est un mouvement brownien. Définition 3.2.2 On dit qu’un processus continu X = (Xt)t≥0 à valeurs IRd est un Ft-mouvement brownien s’il est (Ft)-adapté et si pour tous 0 ≤ s < t < +∞ et tout u ∈ IRd IEn exp(i < u, Xt − Xs >)/Fs o = exp −(t − s) · |u| 

 signifie que Xt − Xs est indépendant de Fs et suit une loi normale Nd  0,(t − s)I  . 11 Donc X est un mouvement brownien au sens de la premi`ere définition. Réciproquement, tout mouvement brownien X au sens de la premi`ere définition est un mouvement brownien relativement à sa filtration de référence Ft = \ >0 σ{Xu; u ≤ t + } complétée.