MORPHOLOGIE MATHEMATIQUE

La morphologie mathématique est née des travaux de MATHERON [Mathéron-75] et SERRA [Serra-82,Serra-88]. Cette discipline que J. SERRA définit comme une formalisation mathématique de certains principes de la psychologie des formes1 est basée sur la topologie de Rn et utilise le langage de la théorie des ensembles. Le principe de base de la morphologie mathématique est d’étudier les objets présents dans une image à l’aide d’autres objets de forme connue appelés éléments structurants. L’image est ainsi transformée à l’aide d’un élément structurant particulier ce qui permet de dégager des informations pertinentes. Dans la suite nous allons présenter les opérateurs morphologiques pour le traitement des images binaires sachant que ces opérateurs sont facilement généralisables aux images à niveaux de gris [Serra-82,Serra-83], [Sternberg-86]. I.1 Eléments de base de la Morphologie mathématique Plaçons nous dans l’espace euclidien R² et considérons Z² comme sous espace plongé dans R². On désignera par P(Z²) l’ensemble de toutes les parties de Z². L’addition de MINKOWSI C’est l’opérateur principal, autour duquel vont être construits tous les opérateurs de la morphologie mathématique (dans sa version euclidienne).Soient A et B ∈ P(Z²). L’addition de MINKOWSKI entre les ensembles A et B se définit comme suit : A ⊕ B = {a + b / a ∈A et b ∈ B} on note alors : Ax = A ⊕ {x} = {a + x, a ∈ A} le translaté de A par x. A = {-a / a ∈ A} le symétrique de A par rapport à (0,0). La soustraction de MINKOWSI C’est l’opérateur dual de l’addition de MINKOWSKI, Soient A et B ∈ P(Z²). La soustraction de MINKOWSKI entre les ensembles A et B se définit comme suit : A Θ B = (AC ⊕ B)C (AC étant le complémentaire de A dans R²) On peut établir des résultats suivants : A ⊕ B = { x ∈ R², A ∩ Bx ≠ ∅ } = ∪ Bb Ab ∈ A Θ B = { x ∈ R², Bx ⊂ A } = ∩ Bb A

Liens entre la morphologie et la prétopologie

 Le premier rapprochement entre la morphologie et la prétopologie remonte aux travaux de M. LAMURE [Lamure-87]. Ces travaux plus généraux que notre cadre actuel démontrent en particulier, pour une prétopologie de type VS, que l’opération d’adhérence est une dilatation morphologique et que l’opération d’intérieur est une érosion morphologique. En effet : Soient ad une adhérence prétopologique de type VS sur Z², et int son application intérieure duale. (On rappelle qu’une adhérence de type VS sur Z² vérifie : pour tous A1 et A2 dans Z², ad(A1 ∪ A2) = ad(A1) ∪ ad(A2)) Posons B = ad({0,0}). Alors on peut montrer facilement les résultats suivants : ∀ A ⊂ Z², ad(A) = DB(A) et int(A) = EB(A). On peut trouver dans [Bonnevay-97] un rapprochement équivalent en ce qui concerne les opérateurs morphologiques à niveaux de gris et les prétopologies de type VS construites sur un espace 3D. Par contre, les opérateurs de dilatation et d’érosion morphologiques ne peuvent être considérés respectivement comme adhérence et intérieur prétopologiques que lorsque l’élément structurant B contient le point (0,0) de Z². En effet, c’est seulement dans ce cas que l’on peut établir les relations suivantes, nécessaires dans l’approche prétopologique : (0,0) ∈ B Î ∀ A ⊂ Z², A ⊂ DB(A) et EB(A) ⊂ A. En outre, lorsqu’une prétopologie n’est pas de type VS, on ne peut pas établir des liens évidents entre les opérateurs prétopologiques et les opérateurs morphologiques. C’est le cas par exemple de la prétopologie de l’enveloppe convexe présentée au premier chapitre. Conclusion Nous avons vu que les liens entre la prétopologie et la morphologie sont établis dans des restrictions mutuelles dans les deux approches. Dans la première, l’adhérence doit être de type VS, et dans la seconde l’élément structurant doit contenir l’élément neutre pour l’addition. De plus, cela suppose qu’on travaille dans un espace euclidien, ce qui représente théoriquement une autre contrainte pour l’approche prétopologique. Nous pouvons dire que les liens existants entre la prétopologie et la morphologie mathématique sont de type pragmatique, dans le sens où ils dépendent directement du domaine d’application qu’est le traitement d’image. En effet, la plupart des structures prétopologiques utilisées dans les algorithmes de traitement d’image sont de type VS et les éléments structurants morphologiques contiennent pratiquement toujours l’élément neutre pour l’addition

THEORIE DES SOUS ENSEMBLES FLOUS ET DES POSSIBILITES 

Dans la première partie de ce paragraphe nous présentons un rapprochement entre la prétopologie et la théorie des sous ensembles flous. Nous nous basons dans la deuxième partie de ce paragraphe sur les travaux de ATHANAZE [Athanaze-97] qui a établi des liens formels entre la prétopologie et la théorie des possibilités. Il a démontré en effet l’équivalence entre la définition d’une adhérence et d’une possibilité, et entre la définition d’un intérieur et d’une nécessité dans le cas d’une prétopologie de type VS.

La théorie des sous ensembles flous 

La base de la théorie des sous ensembles flous développée par L. A. ZADEH depuis 1965 est la notion d’appartenance graduée d’un objet à un ensemble. Cette théorie tend à modéliser les situations de décision naturelle, en tenant compte de l’indécision et de l’imprécision. Un élément x appartiendra à un sous ensemble A de E avec un certain degré µA(x) compris entre 0 et 1. Deux sous ensembles « nets » particuliers peuvent être mis en évidence, le support et le noyau d’un sous ensembles flous A de E. Ils sont définis par : Support(A) = {x ∈ E, µA(x) ≠ 0 }

La théorie des possibilités 

La théorie des possibilités a été introduite par ZADEH [Zadeh-78], en liaison avec la théorie des sous ensembles flous, pour permettre de raisonner sur des connaissances imprécises ou vagues. Elle introduit un moyen de prise en compte des incertitudes sur les connaissances. D’une manière formelle, étant donné un ensemble fini X de référence, on affecte à chaque sous ensemble A de X, considéré comme un événement, une mesure comprise entre 0 et 1 évaluant à quel point cet événement A est possible. Mesure de possibilité : Cela revient à définir une application π de P(X) dans [0,1] telle que : – π(∅) = 0, – π(X) = 1, – )) (()( i Ji Ji π i π ASupA ∈ ∈ ∪ = où les Ai sont des sous ensembles de X. La réalisation d’un événement A est tout à fait possible si π(A) = 1 et impossible si π(A) = 0. Mesure de nécessité : A toute mesure de possibilité on peut associer une mesure duale appelée mesure de nécessité et calculée par l’opérateur η comme suit : ∀ A ∈ P(E) , η(A) = 1 – π(AC ) où AC est le complémentaire de A dans E. cette mesure complète l’information sur A et permet de quantifier la réalisation d’un événement et de son complémentaire en même temps. Elle vérifie en outre les propriétés suivantes : – η(∅) = 0, – η(X) = 1,

Liens entre la prétopologie et la théorie des possibilités 

Soit E un ensemble et P(E) l’ensemble des parties de E. Soit π une possibilité sur E alors on peut construire une adhérence prétopologique aπ associée à π de la manière suivante : ∀ A ∈ P(E), aπ(A) = ∪{ X ∈ P(E) / A ⊂ X et π(X) = π(A) } avec aπ(∅) = ∅. De plus, on a le résultat suivant : π = π o aπ en effet : ∀ A ∈ P(E), π(A) = π(aπ(A)). dans le sens où le graphe suivant est fermé : avec ϕ = π . Réciproquement, si (E,a) est une structure prétopologique de type VS on peut lui associer une possibilité πa de la manière suivante : ∀ A ∈ P(E), πa(A) = ψ(a(A)) où ψ est une possibilité définie sur E, injective sur l’ensemble Ea des adhérences des parties de E : Ea={a(A), A ⊂ E}. De plus, on peut montrer qu’il existe une application µ de [0,1] dans P(E) telle que : a = µ o πa . En ce qui concerne les applications duales, ATHANAZE établit des résultats analogues. Conclusion Les rapprochements que nous avons établi entre la prétopologie et la théorie des sous ensembles flous, et ceux établis par ATHANAZE avec la théorie des possibilités sont purement théoriques. Lorsqu’on veut étudier le côté pratique de ces rapprochements on s’aperçoit très vite que les adhérences construites sont idempotentes et ne peuvent pas aboutir à des processus itératifs, ce qui est nécessaire en algorithmie. Nous pensons tout de même que l’introduction des fonctions structurantes dans ces rapprochements donnerait des résultats plus convaincants.