Morphodynamique des rivières: Sélection de la largeur,rides et dunes

En partant de Navier-Stokes

La partie hydrodynamique s’attache à décrire l’évolution de l’écoulement u(x, y,z,t) contraint par une topographie Z(x, y,t) donnée. La dynamique de l’écoulement dans une rivière est bien décrite par l’équation de conservation de la masse et les équations de Navier-Stokes. Pour l’écoulement d’un fluide incompressible de masse volumique ρ, elles s’expriment : ∇.u = 0 , (1.1) ρ Du Dt = −∇ p + ρ g + η ∆u . (1.2) g représente le vecteur pesanteur, p est la pression du fluide et η = ρ ν la viscosité dynamique du fluide (ν étant la viscosité cinématique). En comparant les termes inertiels de l’écoulement (Du/Dt ∼ U 2/L) aux forces visqueuses intrinsèques au fluide (ν∆u ∼ νU/L2 ), on peut définir un nombre sans dimension. C’est le nombre de Reynolds : Re = U L ν , (1.3) où U et L représentent une vitesse et une longueur caractéristique de l’écoulement. La viscosité cinématique de l’eau ν vaut ≈ 1.1 10−6 m2/s. De petites valeurs du nombre de Reynolds Re < 1 correspondent à des écoulements où 3 1.1. En partant de Navier-Stokes les effets de la viscosité l’emportent sur les effets inertiels. Ces écoulements sont appelés laminaires. À l’inverse, lorsque Re ≫ 1, les termes visqueux peuvent être négligés devant les termes d’advection. L’écoulement est turbulent. Pour les rivières alluviales, nous choisissons comme vitesse caractéristique U la vitesse moyenne de l’écoulement et la hauteur d’eau H comme la longueur caractéristique du problème. Le débit liquide instantanné Q est une grandeur intégrale qui relie l’écoulement à la géométrie du lit : Q ∼ U H W . (1.4) On peut donc réécrire le nombre de Reynolds de deux façons possibles : Re ∼ U H ν ∼ Q W ν . (1.5) À mesure que nous nous éloignons de sa source, le cours d’eau collecte de plus en plus d’eau et son débit augmente. Plus le débit du cours d’eau augmente et plus la largeur de son lit augmente. Or les effets de Q et W sur Re sont antagonistes. Sans rentrer dans les détails des variations de ces deux grandeurs, nous pouvons supposer que le nombre de Reynolds ne varie que faiblement autour d’une valeur moyenne représentative. Estimons cette valeur pour la Moselle en utilisant les données issues de la station hydrographique d’Uckange (W ∼ 80m et Q ∼ 0m3/s). En ce point, le nombre de Reynolds vaut environ Re ∼ 2.106 . Dans le cas du torrent de Saint Pierre au Pré de madame Carle, on obtient des valeurs du nombre de Reynolds de l’ordre de Re ∼ 3.105 . Ces valeurs très élevées justifient le recours à un régime turbulent lors de l’étude de l’hydrodynamique des rivières naturelles. Pour les écoulements turbulents, la composante ui de la vitesse instantanée sur l’axe (Oxi) peut être décomposée en une valeur moyenne Ui =< ui > et une fluctuation turbulente u ′ i telle que < u′ i >= 0, c’est la décomposition de Reynolds : ui = Ui + u ′ i . (1.6) La pression p se décompose de la même façon en une valeur moyenne et une valeur fluctuante : p = P + p ′ . À partir de l’équation de continuité, nous obtenons que les écoulements moyen et fluctuant sont à divergence nulle : ∂Ui ∂xi = 0 et ∂u′ i ∂xi = 0 , (1.7) tandis que la moyenne de l’équation de Navier-Stokes projetée sur l’axe (Oxi) s’écrit : ρ ∂Ui ∂t + ρ Uk ∂Ui ∂xk + ρ < u′ k ∂u′ i ∂xk >= − ∂P ∂xi + ρ gi + η ∆ Ui . (1.8) 4 1.1. En partant de Navier-Stokes z y x berge gauche berge droite H W (a) z x Z H !  » (b) Fig. 1.2 – Schéma d’une section de rivière et notations. La largeur W est génériquement grande devant la hauteur d’eau H. Les variations longitudinales λ du fond et de la surface libre sont très petites devant les variations verticales : Z/λ ∼ H/λ ≪ 1. Le troisième terme du membre de gauche se réécrit : < u′ k ∂u′ i ∂xk >= ∂ < u′ k u ′ i > ∂xk − < u′ i ∂u′ k ∂xk > . (1.9) Le second terme est nul car l’écoulement fluctuant est à divergence nulle. L’écoulement moyen est donc décrit par les équations de Reynolds : ∂Ui ∂xi = 0 , (1.10) ρ ∂Ui ∂t + ρ Uk ∂Ui ∂xk = − ∂P ∂xi + ρ gi + ∂ ∂xk  η ∂Ui ∂xk − ρ < u′ k u ′ i >  (1.11) . Les termes −ρ < u′ k u ′ i > rendent compte de l’influence des fluctuations turbulentes sur l’écoulement moyen.Ils forment un tenseur τ , appelé tenseur de Reynolds. Si nous étudions un cas à 3 dimensions, les relations (1.10)-(1.11) forment un système de 4 équations, dont les inconnues sont les 3 composantes du vecteur de vitesse moyenne, le terme de pression du fluide et le tenseur de Reynolds. Ne connaissant pas l’évolution des fluctuations de vitesse au sein de la rivière, le système possède plus d’inconnues qu’il n’a d’équations : il ne constitue pas un système fermé. Pour fermer ce système, il est nécessaire de spécifier une relation qui lie le tenseur de Reynolds à l’écoulement moyen : τ = f (U) . (1.12) Cette relation est appellée fermeture turbulente. Il existe un grand nombre de fermetures possibles et le meilleur choix dépend du système étudié. Nous reviendrons plus en détail sur ce choix pour des écoulements à surface libres en 8.1.2. Nous considérons maintenant, le cas simple d’un écoulement à surface libre sur un fond Z incliné d’un angle α par rapport à l’horizontal (cf. la figure 1.2). L’écoulement est supposé stationnaire et invariant dans la direction transverse de l’écoulement u(x, z). λ est l’échelle typique des variations Z(x) du lit, alors que la longueur caractéristique de l’écoulement suivant la verticale reste la hauteur d’eau H. L’hypothèse d’eau peu profonde est couramment utilisée pour l’étude hydraulique des rivières. Elle se traduit ici par la relation : H ≪ λ et conduit à ∂Z/∂x ∼ ∂H/∂x ≪ 1. L’équation de conservation de la masse (1.1) permet d’écrire : δ ux δ uz ∼ δ x δ z ∼ λ H ≫ 1 . (1.13) En première approximation, la vitesse de l’écoulement ne possède qu’une composante suivant l’axe (Ox). La pression se déduit rapidement de la projection de l’équation de Navier-Stokes (1.2) sur l’axe vertical : p = patm + ρ g (H − z) cos α . (1.) Et la projection de la relation (1.2) sur l’axe (Ox) ne fait intervenir plus que deux termes qui s’opposent : une force motrice due à la gravité et une force de frottement −∂τxz/∂z, ce qui donne l’expression du cisaillement basal : τb ∼ −ρ g H S , (1.) où S = tan α est la pente du lit. La force de gravité qui fait s’écouler le fluide vers des niveaux d’énergies potentiels plus faibles2 est opposée à la force de frottement sur le lit. En géomorphologie, le frottement turbulent est souvent exprimé simplement en fonction de la vitesse moyenne par la relation : τb ∼ − ρ Cz |U| U . (1.16) La constante de Chezy Cz est une constante phénoménologique qui peut être reliée à la relation de fermeture turbulente choisie. 1.2 La description du transport de sédiments Afin de décrire l’interaction entre les grains et l’écoulement, il faut identifier les mécanismes physiques qui gouvernent l’érosion et le transport de ces sédiments. Sans entrer dans le détail des différents processus impliqués, on peut en fait abstraire l’essentiel de ces mécanismes, souvent compliqués et encore mal compris, dans trois quantités bien définies : le seuil de transport, le flux saturé et la longueur de saturation. 2 i.e. vers les océans. . . Hydraulically smooth Transition Hydraulically rough No motion Motion Silt Sand Gravel (a) (b) Fig. 1.3 – (a) Schéma des forces sur un empilement de 4 sphères identiques. (b) La courbe de [Shields 36], θ vs Red, permet de définir deux zones. Une région sans transport est séparée par la courbe continue d’une zone où l’écoulement cisaille le lit de sédiment suffisament fort pour en arracher les grains. Les points expérimentaux ont été obtenus par [Shields 36] dans un canal hydraulique avec une granulométrie homogène et mono-disperse. 

Le seuil de transport 

Conceptuellement, le seuil de mise en mouvement traduit la compétition entre deux forces opposées : la force ∼ τb d 2 exercée par le cisaillement de l’écoulement sur les grains de taille d joue le rôle de force motrice. Elle s’oppose à une force de résistance, qui dans les cas les plus simples, est le poids déjaugée d’une particule ∼ (ρs − ρf )gd3 . Ces deux forces sont représentées sur la figure 1.3a. En comparant ces deux forces, [Shields 36] a introduit un nombre sans dimension, le nombre de Shields : θ = τb (ρs − ρ) g d . (1.) La figure 1.3a représente le cas idéalisé d’un empilement de quatre sphères identiques soumises à une force de cisaillement extérieure. En négligeant la force de cohésion entre les grains, la contrainte seuil de cisaillement dépend du diamètre des sphères d et de l’inclinaison de l’empilement S selon la loi : τth ∼ (ρs − ρ)gd (1 − S/µ), où µ représente l’angle de repos de cet empilement granulaire. Avec ce raisonnement on s’attend à ce que l’ordre de grandeur du nombre de Shields seuil θth soit de l’ordre de l’unité. Dans un canal hydraulique, [Shields 36] a mesuré la valeur critique du cisaillement au-dessus de laquelle il observait une mobilisation des grains d’un lit plat en utilisant divers matériaux granulaires. Ses résultats expérimentaux sont représentés sur le graphe de la figure 1.3b. Le nombre de Shields critique θth est représenté en fonction du nombre de Reynolds particulaire : Red = u∗ d ν . (1.) Le premier coup d’oeil à la figure 1.3b montre qu’on a plutôt θth . 0.1. En fait, la forme des grains et des facteurs géométriques sont à prendre en considération pour faire le calcul proprement. D’autre part, pour des grains de très petite taille, les effets de cohésion deviennent importants, ce qui explique la remontée de θth sur la gauche du graphe. Une des difficultés pour le calcul de θth réside dans la description de l’écoulement au niveau d’une particule du lit. En particulier, la force de traînée et le poids de la particule ne s’expriment pas suivant la même direction. [Bagnold 41] propose de comparer les moments de ces deux forces. Il exprime alors la vitesse uth au seuil de mise en mouvement, ce qui lui permet de retrouver la variation de cette vitesse seuil avec la racine carrée de la taille des grains pour les plus nombre de Reynolds particulaires, variation qu’il a observée expérimentalement. [Bagnold 41] a également montré que le seuil de mise en mouvement des grains dépend du fluide étudié. En effet, pour un transport éolien, les grains peuvent aussi bien être arrachés par l’écoulement que dépiégés par l’impact d’autres grains qui retombent sur le lit. Dans ce second cas, l’écoulement ne sert qu’à accélérer les particules, une fois que celles-ci ont été éjectées du lit. À l’inverse, dans le cas d’un transport aquatique, c’est essentiellement le fluide qui déloge les grains piégés dans les couches superficielles. Cette différence est essentielle dans la définition du seuil de mise en mouvement : par exemple [Bagnold 41] a montré expérimentalement l’existence d’un second seuil dû aux impacts des grains transportés. Le seuil est également sensible à la préparation du lit dans les expériences de laboratoire : un lit lâche est plus facile à éroder qu’un lit préparé de manière compacte. Au fur et à mesure du mouvement des grains, les grains érodés s’installent dans des puits potentiels de plus en plus profonds, ce qui se traduit par un tassement progressif du lit [Charru 06]. Ce processus est responsable de la consolidation du lit. Le cisaillement minimal pour mettre les grains en mouvement est alors nécessairement plus grand. Ce phénomène explique en partie la grande dispersion des mesures expérimentales de la figure 1.3b. Cette notion de seuil est importante pour la dynamique des rivières. Ainsi, les rivières « calmes » sont les cours d’eau pour lesquels la valeur de la contrainte de cisaillement basale τb est inférieure à cette valeur de seuil de cisaillement : τb < τth. C’est le cas par exemple pendant les périodes d’étiage caractérisées par des débits instantannés beaucoup plus faibles qu’en moyenne ou lorsque le fond et les berges des rivières sont tapissées de galets trop difficilement mobilisables par l’écoulement. Un autre paramètre important est la cohésion du matériel qui constitue le lit et/ou les berges. La présence de petites particules, par exemple d’argile, renforce cette cohésion. Elle peut être également augmentée par la présence de végétaux.

Le flux saturé

 On peut schématiquement distinguer plusieurs modes de transport dans les rivières alluviales : Transport par charriage Les sédiments restent confinés dans une couche proche du fond. Ils se déplacent en roulant ou en glissant sur les autres grains du lit et effectuent parfois de petits sauts, de sorte que la hauteur de la couche de transport est équivalente à quelques diamètres de grains. Les termes de transport de fond ou transport par charge de fond sont aussi utilisés. C’est le mécanisme de transport prédominant quand le nombre de Shields n’est pas trop grand (0.1 < θ < 1). Transport en suspension Pour les grandes valeurs du nombre de Shields (θ > 1), la force du courant est suffisante pour transporter les sédiments sur de très grandes distances. Les sédiments sont mis en suspension sur toute la hauteur de l’écoulement. Ce mode de transport prédomine pendant les périodes de crues où une grande partie des couches superficielles qui composent le fond est remobilisé par l’écoulement, si bien qu’il est même difficile de définir correctement la position du fond. Il existe évidement une situation intermédiaire où la couche de transport, bien que localisée sur le fond, devient d’épaisseur conséquente (on parle de ‘sheet flow’ en anglais). Même si les notions de flux saturé qsat et de longueur de stauration Lsat dont on va discuter ici sont indépendantes du mode de transport (on les définit également dans le cas éolien par exemple), dans tout ce qui suit seul le transport par charriage sera considéré dans cette étude, pour des raisons qui seront explicitées par la suite. Pendant la mise en mouvement ou lors du transport, le fluide transfert de l’énergie aux grains. En retour, les particules en mouvement exercent une rétro-action sur le fluide qui les transporte et ont tendance à ralentir l’écoulement. L’écoulement ne peut donc pas transporter un nombre infini de grains. Pour chaque valeur de cisaillement, le nombre de grains que l’écoulement est capable de transporter à l’équilibre permet de définir un flux ‘saturé’ qsat. Ce flux de sédiments transportés dépend de la valeur de la contrainte cisaillante τb et du seuil de mis en mouvement τth. La relation : qsat = f ( θ , θth ) , (1.) est appelée loi de transport. Une loi de transport couramment utilisée est celle proposée empiriquement par [Meyer-Peter & Müller 48] qui ont réalisé de nombreuses mesures en variant non seulement la taille d et la masse volumique ρs des grains, mais aussi la longueur et la pente du canal hydraulique : qsat(θ, θth) = 8s ρs − ρf ρf gd3 (θ − θth) 3/2 . (1.) La fonction f (θ, θth) peut être également déterminée théoriquement sous des hypothèses particulières. En équilibrant les puissances de transfert entre le fluide et les grains en mouvement, [Bagnold 56] propose : qsat(θ, θth) ∝ θ 1/2 (θ − θth) . (1.) Le facteur de proportionnalité prend notamment en compte le frottement des grains sur le lit, le coefficient de traînée et le nombre de Reynolds particulaire Red. Dans le chapitre 9.1, nous proposerons également des lois associées à différentes situations : un régime proche du seuil où le transport est limité par l’érosion, et un régime pour des valeurs de θ plus élevées où c’est la quantité de mouvement disponible qui détermine le nombre de particules transportées.

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