Moments nuls – Régularité – Taille des supports

Une des insuffisances de la transformation de Fourier est la suivante : Supposons que l’on veuille détecter une fréquence élevée dans un signal confus. Supposons que le signal corresponde aux temps [0; T ], que la fréquence à étudier apparaisse au temps T1 > 0 et disparaisse au temps T2 < T . Supposons que l’on soit intéressé par ces temps inconnus d’apparition et d’extinction. Si le signal est très vibratoire, un simple regard sur le signal en temps ne montre pas l’information. Le spectre quant à lui, bien qu’il contienne toute l’information du signal, ne montre pas davantage les dates recherchées. Il faudrait faire un certain nombre de transformations de Fourier avec des petites fenêtres glissantes. Selon les fenêtres, le phénomène pourrait être présent ou absent. En jouant sur la taille des fenêtres on pourrait ainsi déceler l’information recherchée. Ce type d’analyse a été étudié et mis en œuvre, conduisant à la transformée de Fourier à fenêtre glissante et aux Gabarottes. Les ondelettes unifient et formalisent ces idées. Elles fournissent l’équivalent des fenêtres glissantes et apportent en plus la flexibilité de leur taille.

Les ondelettes sont en gros des fonctions oscillantes, comme les e , mais dépendant de deux paramètres, l’un concerne la disposition de l’ondelette sur l’axe des x, l’autre mesure sa concentration autour de cette disposition, à la manière des gaussiennes e (x  m)2:

– qui ne sont pas oscillantes – où m indique la position de la gaussienne sur l’axe des x et mesure sa concentration.

En effectuant le produit scalaire d’un signal avec une ondelette, on va obtenir une information sur le comportement du signal au voisinage du point où se concentre l’ondelette. Un signal constant dans ce voisinage donnera 0, un signal très lisse ou beaucoup plus irrégulier que l’ondelette donnera une petite valeur, un signal ayant un comportement analogue à celui de l’ondelette donnera une valeur maximale. Les ondelettes vont former une base hilbertienne où l’on va décomposer les signaux, de la même manière que les signaux périodiques le sont dans la base des ondes pures e . Elles obéissent à un formalisme qui cache beaucoup les objectifs recherchés. On va l’exposer dans le cadre de la multirésolution, en dimension un.

• La condition (6:) exprime la propriété importante de l’analyse multirésolution, à savoir que les Vj sont constitués des fonctions de V0 dilatées au facteur 2j ou c’est la même chose, comprimées au facteur 2 j.

• Les j;k = 2 j=2 (2 jx k) forment une base de Vj, ils ont même norme que . Si j;k a un support de longueur L, celui de j+1;k, est de longueur 2L.

• Comme V1    V0, et comme les  (x   k) forment une base de V0,  (x=2) 2 V1 est nécessairement la somme d’une série de termes en (x k). Mais en indiquant que est une fonction d’échelle, on a déjà précisé cela.

On dit que l’analyse multirésolution est orthogonale si la fonction d’échelle est orthogonale, c’est-à-dire si la base des (x k) est orthonormée, ou encore si : Z ( (x);  (x  k)) =(x) (x  k) dx =  0;k; k 2 Z (3.4)

• Deux fonctions  différentes peuvent engendrer la même analyse multirésolution.

• On peut démontrer [Kei03, p. 12] que si elles sont orthogonales elles se déduisent l’une de l’autre par un décalage k et un facteur constant de module 1.

• On peut démontrer aussi [Mal00, p. 222] que pour toute analyse multirésolution on peut trouver une fonction d’échelle orthogonale (théorique). Cette propriété rend la définition ci-dessus assez impropre. Il faut comprendre qu’elle porte sur la fonction d’échelle et non sur la suite des Vj proprement dite.

• Comme la base des (x k) est orthonormée, c’est une base hilbertienne de V0. Il en résulte aussi que les j;k forment une base hilbertienne de Vj .

On note Pj la projection orthogonale de L2 sur V j, Qj = Pj  1 Pj , Wj l’image de Qj.

¶ Qj est la projection orthogonale sur Wj = QjL2.

• Vj  i = Vj   Wj

Pour f 2 L2 on a P

(a) Pif = k(f;  j; k) j;k

(b) Pjf ! f dans L2 quand j !

Note : Pj 1f représente une approximation grossière de f à l’ordre j 1. Pjf repré-sente une approximation plus grossière. Qjf mesure le niveau de détails entre les deux approximations.

La décomposition est formée de deux types d’éléments : une approximation au niveau n, c’est Pnf 2 Vn, et une suite de détails de plus en plus fins, ce sont les Qjf 2 Wj – plus j tend vers plus Qjf est fin, plus j tend vers +1 plus Qjf est grossier -.

Pour un calcul effectif, on partira nécessairement d’une fonction f qui est déjà dans un Vn, donnée par ses coefficients dans la base des n;k, c’est-à-dire telle que Pnf = f.

Décomposer f en ondelettes jusqu’au niveau d’approximation (de détails) l = n + p consiste alors à effectuer p projections des Vj sur ses composantes Vj = V j + 1 Wj+1 selon f = Pnf = sn + dn,sn 2 Vn, dn = 0 2 Wn

Dans ces décompositions successives, à chaque étape on extrait les détails les plus fins que l’on puisse trouver. dn+1 contient les détails de niveau n + 1 qui sont les plus fins, qui s’expriment avec les qui sont fines. On n’y touche plus. Puis on extrait de sn+1 2 Vn+1 les détails de niveau n + 2 qui sont plus grossiers, qui s’expriment à l’aide des moins fines. Et ainsi de suite. On s’arrête au niveau l = n + p. A ce stade sl 2 Vl est l’approximation la plus grossière de f ; on dispose de tous les niveaux de détails, du plus grossier dl au plus fin dn+1, permettant une reconstitution sans perte de f. La décomposition conserve toute l’information contenue dans f, dont on a ordonné les niveaux de détails. De cette façon on obtient une représentation de f à partir de laquelle on peut opérer du filtrage, de la compression, ou d’autres manipulations.

Le passage des ondelettes continues aux calculs concrets pose les mêmes délicats pro-blèmes que pour la transformation de Fourier. Il conviendrait ici aussi d’étudier les décom-positions en ondelettes discrètes, les décompositions avec un nombre fini d’ondelettes, les liens avec la décomposition continue, comme on l’a fait pour la transformation de Fourier discrète. Il s’agit d’objets mathématiques différents. Pour une étude plus complète, voir le travail de Cohen dans [Coh92]. On va se contenter de présenter les algorithmes de calculs dans le cas discret fini, sans étudier précisément les liens avec le cas continu.