Modules avec conditions de chaîne sur les Endoimages et les Endonoyaux

Modules avec conditions de chaîne sur
les Endoimages et les Endonoyaux

Rappels 1. Un module projectif  pour tout homo

  pour tout homo  il existe un morphisme commutatif Ceci équivaut à : Il existe un module M tel que module libre. 2. Un sous-module N d’un module L de M, la relation N + L = M 3. Soit M un module et soit projective de M s’il existe un homomorphisme surjectif dans P. Si un module admet une enveloppe projective alors cette enveloppe est unique isomorphisme près. Mémoire DEA Yakhya DIOP MODULES ENDO-ARTINIENS OU ENDO-NOETHERIENS DE TYPE FINI module projectif est un module P sur un anneau A tel que homomorphisme surjectif f : P → M’’ entre deux homomorphisme surjectif g : M → M’’, il existe un morphisme h : P → M rendant le diagramme suivant commutatif tel que P⊕M soit libre, autrement dit P est facteur direct d’un module N d’un module M est dit superflu dans M si, pour tout sous M implique L = M. un module et soit P un module projectif on dit que P est une s’il existe un homomorphisme surjectif f de P sur M tel que Si un module admet une enveloppe projective alors cette enveloppe est unique ∀ ℎ ∃ ݆.ݎݑݏ ∀ Page 26 NOETHERIENS entre deux A-modules et rendant le diagramme suivant est facteur direct d’un si, pour tout sous-module est une enveloppe tel que kerf soit superflu Si un module admet une enveloppe projective alors cette enveloppe est unique à un goh=f Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 27 Proposition 2.1 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Tout R-module à gauche de type fini est endo-Artinien 2. Tout R-module à gauche cyclique est endo-Artinien. 3. Pour tout n le R-module à gauche Rn est endo-Artinien. 4. R est parfait à droite. Preuve: 1 implique 2 un module cyclique est engendré par un élément donc de type fini 1 implique 3 Pour tout n le R-module à gauche Rn est isomorphe au R-module à gauche de dimension n. 2 implique 4 et 3 implique 4 car R est endo-Artinien à gauche, alors R est parfait à droite. 4 implique 1. C’est une conséquence directe d’un corollaire d’un théorème de Borj (voir Kasch Corollary 11.7.2): Si R est parfait à droite de tout R-module M à gauche vérifie la condition de chaîne décroissante pour les sous-modules de type fini. Puisque M est de type fini, Imf est de type fini pour tout f ∈ End(M). Nous rappelons que l’idéalisateur d’un idéal à gauche 1 d’un anneau R est défini par B = {b ∈ R/Ib⊂I} et End(R/I) est anti-isomorphe à B/I. Soit a ∈ R, on désigne par (I: a) ={ r ∈ R: ra ∈ I)}. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 28 Proposition 2.2 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Tout R-module à gauche cyclique est endo-Noethérien. 2. R vérifie la condition de chaîne croissante sur les idéaux à gauche de type (I: a) où I est un idéal à gauche de R et a est un élément dans l’idéalisateur B de I i.e. les chaînes (I: a1) ⊆ (I: an) ⊆.., où an ∈ B pour tout n entier positif, sont stationnaires. Preuve: Soit M un R-module cyclique, on peut supposer que M = R/I pour un certain idéal à gauche I de R. Soit f un endomorphisme de M et f (1 + l)= a + I , où a est dans l’idéalisateur B de l’idéal à gauche I. nous avons que ker f = {r + I: ra ∈ I}. En tenant compte du fait que (I: a) ⊆ (I: b), où a et b sont dans l’idéalisateur de I, si et seulement si Ker f ⊆ Kerg, où f et g sont des endomorphismes de R/I définis par 1 (1 + I) = a+I et g (1 + I) = b + I le résultat suit facilement. Proposition 2.3 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Le R-module Rn est endo-Noethérien. 2. Toute chaine croissante annR n A1 ⊆ annR n A2 ⊆ … Où Ai ∈ Mn (R) est stationnaire. Preuve: Prenant en compte que End(Rn ) ≅ Mn(R) le résultat suit. Pour un sous-module N de Rn et une matrice carrée A ∈Mn (R) désignée par (N: A) = {x ∈ Rn : xA ∈N}. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 29 Proposition 2.4 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Le R-module à gauche Rn /N, où N est un sous-module de Rn , est endoNoethérien. 2. Toute chaîne croissante (N: A1) ⊆ (N: A2) ⊆… , Où Ai ∈Mn (R) vérifie NAi ⊆ N pour tout i = 1 … n, est stationnaire. Preuve: Tout R-endomorphisme de Rn est déterminé par une matrice A ∈ Mn(R) tel que NA⊆N.Soient f et g des endomorphismes de Rn / N déterminés par A et B respectivement. Nous avons que Kerf = {x + N: xA∈N}. Tenant compte du fait que (N: A) ⊆ (N: B), si et seulement si Kerf ⊆Kerg le résultat suit facilement. Corollaire 2.5 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Tout R-module de type fini est endo-Noethérien. 2. Pour entier positif n et pour tout sous-module N de Rn la chaîne croissante (N: A1) ⊆ (N: A2) ⊆…, où Ai ∈Mn (R) vérifie NAi ⊆N pour tout i = 1 … n, est stationnaire

 MODULES QUASI ENDO-ARTINIENS ET ENDO

Définition 3.1 Un R-module M est homomorphisme surjectif (resp. injectif) de M sur N (resp. de N dans M) et tout homomorphisme γ, de M ( tel que: γ = gh (resp., γ= hg) (i.e. il existe h : M→M tel que le diagramme soit commutatif. (resp. De toute évidence, tout module projectif est quasi est quasi-injectif. Mémoire DEA Yakhya DIOP MODULES QUASI-PROJECTIFS OU QUASI-INJECTIFS ARTINIENS ET ENDO-NOETHERIENS. est dit quasi-projectif (resp. Quasi-injectif) si, pour toute surjectif (resp. injectif) de M sur N (resp. de N dans M) et tout , de M ( resp. N) sur N (resp. de M), il existe un endomorphisme h de M hg) M tel que le diagramme soit commutatif. De toute évidence, tout module projectif est quasi-projectif et tout Page 30 INJECTIFS ) si, pour toute surjectif (resp. injectif) de M sur N (resp. de N dans M) et tout N (resp. de M), il existe un endomorphisme h de M tout module injectif Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 31 Théorème 3.2 Soit M un R-module quasi – injective. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1. M est endo-Noethérien. 2. L’anneau des endomorphismes S = End (M) est parfait à gauche. Preuve: 1 implique 2. Soit S*f1= f1S⊃f2S⊃…. … une chaîne décroissante d’idéaux à gauche principaux. Puisque fi+1= hifi, on peut considérer la chaîne croissante Kerf1⊂ kerf2⊂ … qui se termine. Alors il existe n tel que Kerfn = Ker fn+1 et on peut considérer l’homomorphisme bien défini de Imfn+1 dans M qui envoie fn + l (x) à fn (x). Parce que M est quasi-injectif cet homomorphisme peut être étendue à un endomorphisme h de M. Ainsi fn = hfn+1 et le résultat suit. 2 implique 1. Soit Kerf1⊂ kerf2⊂…. .. parce que M est quasi injective fi+1= hifi , et nous pouvons considérer la chaîne décroissante f1S ⊃ f2S⊃… qui est stationnaire, alors il existe n tel que fn = hfn+1 . Ainsi Ker fn+1 ⊂Kerfn et la chaîne se termine. Théorème 3.3 Soit M un R-module quasi projectif. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1. M est endo-Artinien. 2. L’anneau des endomorphismes S = End (M) est parfait à droite. Preuve: 1 implique 2. Soit Sf1⊇Sf2⊇ … une chaîne décroissante d’idéaux à gauche principaux. Puisque fi+1= hifi on peut considérer la chaîne de Imf décroissante Imf1⊇ Imf2⊇ … qui se termine. Alors il existe n tel que Imfn = Imfn+1 et nous avons un Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 32 homomorphisme de M dans Imfn+1 qui envoient m à fn (m) et l’épimorphisme naturel de M dans Imfn+1. Parce que M est quasi-projectif il existe un endomorphisme h de M tel que fn = fn+1h et le résultat suit. 2 implique 1. Soit Imf1⊇ Imf2⊇ …… parce que M est quasi projectif fi+1= hifi et on peut considérer la chaîne décroissante f1S⊇ f2 S⊇ ….qui est stationnaire, alors il existe n tel que fn = fn+1h. Ainsi Imfn+1⊇Imfn… et la chaîne se termine. Corollaire 3.4 Tout module quasi-projectif endo-Artinien ou quasi-injectif endo- Noethérien est un module de Fitting. En particulier tout module endo-Artinien projectif ou endo – Noethérien injectif est un module de Fitting. Corollaire 3.5 Si Rn est un R-module endo-Artinien, alors tout module quotient, Rn /N de Rn est un R-module endo-Artinien. Preuve: Puisque Rn est un R-module projectif, de 3.3 End (R n) ≅Mn (R) est parfait à droite, donc R est parfaite à droite et tout R-module à gauche de type fini est endoArtinien, donc Rn /N est endo- Artinien . Corollaire 3.6 Soit R un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Il existe un entier positif n tel que Rn est endo-Artinien. 2. Tout R-module de type fini est endo-Artinien. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 33 Preuve: Comme dans la preuve du corollaire ci-dessus que nous avons 1. implique que R est parfait à droite et , on obtient 2.. Evidemment 2 implique l. Corollaire 3.7 Soit R un anneau auto-injectif à gauche. Alors R est endo-Noethérien à gauche si et seulement si R est endo-Artinien à droite si et seulement si R est parfait à gauche. preuve: Si R est endo-Noethérien à gauche alors End (R) isomorphe à R est parfait à gauche, i.e. R est endo-Artinien à droite. Inversement, R est projectif, et si R est endoArtinien à droite i.e. R est parfait à gauche alors R est endo-Noethérien à gauche. Remarquons que ce résultat peut être obtenu de l’exemple 1.16 parce que tout anneau auto injectif à gauche est P-injective à gauche. Corollaire 3.8 Soit M un module quasi-injectif. Alors M est endo-Noethérien si et seulement si pour tout n ∈N, M n est endo-Noethérien … Preuve: Tenant compte du fait que M est quasi-injectif si et seulement si Mn l’est aussi, qu’un anneau R est parfait à droite si et seulement si Mn (R) est parfait à droite pour tout entier n positif et que End (Mn ) est isomorphe à Mn (End (M)) le résultat suit. (Adaptation de Varadarajan modules parfaits, Prop 5) Proposition 3.9 Il existe un générateur quasi-projectif endo-Artinien de R-modules si et seulement si R est parfait à droite. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 34 Preuve: Soit RM un générateur quasi-projectif endo-Artinien de R-modules, Tout R-module est une image épimorphe d’une somme directe de copies de M, en particulier RR est l’image par un épimorphisme f de Mn , pour entier positif n. Puisque RR est projectif nous avons que Kerf est une somme direct de Mn . R est donc isomorphe à une somme directe de Mn et R ≅End (RR) ≅eM n (End (M)) e, pour un idempotent e∈Mn (End (M)). Par théorème 3.3 End (M) est parfait à droite. Puisque être parfait à droite est un invariant de Morita nous concluons que R est un anneau parfait à droite. D’autre part, si R est parfait à droite, R R est un générateur quasi-projectif endoArtinien dans la catégorie des R-modules.