Modules avec conditions de chaîne sur
les Endoimages et les Endonoyaux

Rappels 1. Un module projectif  pour tout homo

  pour tout homo  il existe un morphisme commutatif Ceci équivaut à : Il existe un module M tel que module libre. 2. Un sous-module N d’un module L de M, la relation N + L = M 3. Soit M un module et soit projective de M s’il existe un homomorphisme surjectif dans P. Si un module admet une enveloppe projective alors cette enveloppe est unique isomorphisme près. Mémoire DEA Yakhya DIOP MODULES ENDO-ARTINIENS OU ENDO-NOETHERIENS DE TYPE FINI module projectif est un module P sur un anneau A tel que homomorphisme surjectif f : P → M’’ entre deux homomorphisme surjectif g : M → M’’, il existe un morphisme h : P → M rendant le diagramme suivant commutatif tel que P⊕M soit libre, autrement dit P est facteur direct d’un module N d’un module M est dit superflu dans M si, pour tout sous M implique L = M. un module et soit P un module projectif on dit que P est une s’il existe un homomorphisme surjectif f de P sur M tel que Si un module admet une enveloppe projective alors cette enveloppe est unique ∀ ℎ ∃ ݆.ݎݑݏ ∀ Page 26 NOETHERIENS entre deux A-modules et rendant le diagramme suivant est facteur direct d’un si, pour tout sous-module est une enveloppe tel que kerf soit superflu Si un module admet une enveloppe projective alors cette enveloppe est unique à un goh=f Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 27 Proposition 2.1 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Tout R-module à gauche de type fini est endo-Artinien 2. Tout R-module à gauche cyclique est endo-Artinien. 3. Pour tout n le R-module à gauche Rn est endo-Artinien. 4. R est parfait à droite. Preuve: 1 implique 2 un module cyclique est engendré par un élément donc de type fini 1 implique 3 Pour tout n le R-module à gauche Rn est isomorphe au R-module à gauche de dimension n. 2 implique 4 et 3 implique 4 car R est endo-Artinien à gauche, alors R est parfait à droite. 4 implique 1. C’est une conséquence directe d’un corollaire d’un théorème de Borj (voir Kasch Corollary 11.7.2): Si R est parfait à droite de tout R-module M à gauche vérifie la condition de chaîne décroissante pour les sous-modules de type fini. Puisque M est de type fini, Imf est de type fini pour tout f ∈ End(M). Nous rappelons que l’idéalisateur d’un idéal à gauche 1 d’un anneau R est défini par B = {b ∈ R/Ib⊂I} et End(R/I) est anti-isomorphe à B/I. Soit a ∈ R, on désigne par (I: a) ={ r ∈ R: ra ∈ I)}. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 28 Proposition 2.2 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Tout R-module à gauche cyclique est endo-Noethérien. 2. R vérifie la condition de chaîne croissante sur les idéaux à gauche de type (I: a) où I est un idéal à gauche de R et a est un élément dans l’idéalisateur B de I i.e. les chaînes (I: a1) ⊆ (I: an) ⊆.., où an ∈ B pour tout n entier positif, sont stationnaires. Preuve: Soit M un R-module cyclique, on peut supposer que M = R/I pour un certain idéal à gauche I de R. Soit f un endomorphisme de M et f (1 + l)= a + I , où a est dans l’idéalisateur B de l’idéal à gauche I. nous avons que ker f = {r + I: ra ∈ I}. En tenant compte du fait que (I: a) ⊆ (I: b), où a et b sont dans l’idéalisateur de I, si et seulement si Ker f ⊆ Kerg, où f et g sont des endomorphismes de R/I définis par 1 (1 + I) = a+I et g (1 + I) = b + I le résultat suit facilement. Proposition 2.3 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Le R-module Rn est endo-Noethérien. 2. Toute chaine croissante annR n A1 ⊆ annR n A2 ⊆ … Où Ai ∈ Mn (R) est stationnaire. Preuve: Prenant en compte que End(Rn ) ≅ Mn(R) le résultat suit. Pour un sous-module N de Rn et une matrice carrée A ∈Mn (R) désignée par (N: A) = {x ∈ Rn : xA ∈N}. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 29 Proposition 2.4 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Le R-module à gauche Rn /N, où N est un sous-module de Rn , est endoNoethérien. 2. Toute chaîne croissante (N: A1) ⊆ (N: A2) ⊆… , Où Ai ∈Mn (R) vérifie NAi ⊆ N pour tout i = 1 … n, est stationnaire. Preuve: Tout R-endomorphisme de Rn est déterminé par une matrice A ∈ Mn(R) tel que NA⊆N.Soient f et g des endomorphismes de Rn / N déterminés par A et B respectivement. Nous avons que Kerf = {x + N: xA∈N}. Tenant compte du fait que (N: A) ⊆ (N: B), si et seulement si Kerf ⊆Kerg le résultat suit facilement. Corollaire 2.5 Pour un anneau R les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Tout R-module de type fini est endo-Noethérien. 2. Pour entier positif n et pour tout sous-module N de Rn la chaîne croissante (N: A1) ⊆ (N: A2) ⊆…, où Ai ∈Mn (R) vérifie NAi ⊆N pour tout i = 1 … n, est stationnaire

 MODULES QUASI ENDO-ARTINIENS ET ENDO

Définition 3.1 Un R-module M est homomorphisme surjectif (resp. injectif) de M sur N (resp. de N dans M) et tout homomorphisme γ, de M ( tel que: γ = gh (resp., γ= hg) (i.e. il existe h : M→M tel que le diagramme soit commutatif. (resp. De toute évidence, tout module projectif est quasi est quasi-injectif. Mémoire DEA Yakhya DIOP MODULES QUASI-PROJECTIFS OU QUASI-INJECTIFS ARTINIENS ET ENDO-NOETHERIENS. est dit quasi-projectif (resp. Quasi-injectif) si, pour toute surjectif (resp. injectif) de M sur N (resp. de N dans M) et tout , de M ( resp. N) sur N (resp. de M), il existe un endomorphisme h de M hg) M tel que le diagramme soit commutatif. De toute évidence, tout module projectif est quasi-projectif et tout Page 30 INJECTIFS ) si, pour toute surjectif (resp. injectif) de M sur N (resp. de N dans M) et tout N (resp. de M), il existe un endomorphisme h de M tout module injectif Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 31 Théorème 3.2 Soit M un R-module quasi – injective. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1. M est endo-Noethérien. 2. L’anneau des endomorphismes S = End (M) est parfait à gauche. Preuve: 1 implique 2. Soit S*f1= f1S⊃f2S⊃…. … une chaîne décroissante d’idéaux à gauche principaux. Puisque fi+1= hifi, on peut considérer la chaîne croissante Kerf1⊂ kerf2⊂ … qui se termine. Alors il existe n tel que Kerfn = Ker fn+1 et on peut considérer l’homomorphisme bien défini de Imfn+1 dans M qui envoie fn + l (x) à fn (x). Parce que M est quasi-injectif cet homomorphisme peut être étendue à un endomorphisme h de M. Ainsi fn = hfn+1 et le résultat suit. 2 implique 1. Soit Kerf1⊂ kerf2⊂…. .. parce que M est quasi injective fi+1= hifi , et nous pouvons considérer la chaîne décroissante f1S ⊃ f2S⊃… qui est stationnaire, alors il existe n tel que fn = hfn+1 . Ainsi Ker fn+1 ⊂Kerfn et la chaîne se termine. Théorème 3.3 Soit M un R-module quasi projectif. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1. M est endo-Artinien. 2. L’anneau des endomorphismes S = End (M) est parfait à droite. Preuve: 1 implique 2. Soit Sf1⊇Sf2⊇ … une chaîne décroissante d’idéaux à gauche principaux. Puisque fi+1= hifi on peut considérer la chaîne de Imf décroissante Imf1⊇ Imf2⊇ … qui se termine. Alors il existe n tel que Imfn = Imfn+1 et nous avons un Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 32 homomorphisme de M dans Imfn+1 qui envoient m à fn (m) et l’épimorphisme naturel de M dans Imfn+1. Parce que M est quasi-projectif il existe un endomorphisme h de M tel que fn = fn+1h et le résultat suit. 2 implique 1. Soit Imf1⊇ Imf2⊇ …… parce que M est quasi projectif fi+1= hifi et on peut considérer la chaîne décroissante f1S⊇ f2 S⊇ ….qui est stationnaire, alors il existe n tel que fn = fn+1h. Ainsi Imfn+1⊇Imfn… et la chaîne se termine. Corollaire 3.4 Tout module quasi-projectif endo-Artinien ou quasi-injectif endo- Noethérien est un module de Fitting. En particulier tout module endo-Artinien projectif ou endo – Noethérien injectif est un module de Fitting. Corollaire 3.5 Si Rn est un R-module endo-Artinien, alors tout module quotient, Rn /N de Rn est un R-module endo-Artinien. Preuve: Puisque Rn est un R-module projectif, de 3.3 End (R n) ≅Mn (R) est parfait à droite, donc R est parfaite à droite et tout R-module à gauche de type fini est endoArtinien, donc Rn /N est endo- Artinien . Corollaire 3.6 Soit R un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes: 1. Il existe un entier positif n tel que Rn est endo-Artinien. 2. Tout R-module de type fini est endo-Artinien. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 33 Preuve: Comme dans la preuve du corollaire ci-dessus que nous avons 1. implique que R est parfait à droite et , on obtient 2.. Evidemment 2 implique l. Corollaire 3.7 Soit R un anneau auto-injectif à gauche. Alors R est endo-Noethérien à gauche si et seulement si R est endo-Artinien à droite si et seulement si R est parfait à gauche. preuve: Si R est endo-Noethérien à gauche alors End (R) isomorphe à R est parfait à gauche, i.e. R est endo-Artinien à droite. Inversement, R est projectif, et si R est endoArtinien à droite i.e. R est parfait à gauche alors R est endo-Noethérien à gauche. Remarquons que ce résultat peut être obtenu de l’exemple 1.16 parce que tout anneau auto injectif à gauche est P-injective à gauche. Corollaire 3.8 Soit M un module quasi-injectif. Alors M est endo-Noethérien si et seulement si pour tout n ∈N, M n est endo-Noethérien … Preuve: Tenant compte du fait que M est quasi-injectif si et seulement si Mn l’est aussi, qu’un anneau R est parfait à droite si et seulement si Mn (R) est parfait à droite pour tout entier n positif et que End (Mn ) est isomorphe à Mn (End (M)) le résultat suit. (Adaptation de Varadarajan modules parfaits, Prop 5) Proposition 3.9 Il existe un générateur quasi-projectif endo-Artinien de R-modules si et seulement si R est parfait à droite. Mémoire DEA Yakhya DIOP Page 34 Preuve: Soit RM un générateur quasi-projectif endo-Artinien de R-modules, Tout R-module est une image épimorphe d’une somme directe de copies de M, en particulier RR est l’image par un épimorphisme f de Mn , pour entier positif n. Puisque RR est projectif nous avons que Kerf est une somme direct de Mn . R est donc isomorphe à une somme directe de Mn et R ≅End (RR) ≅eM n (End (M)) e, pour un idempotent e∈Mn (End (M)). Par théorème 3.3 End (M) est parfait à droite. Puisque être parfait à droite est un invariant de Morita nous concluons que R est un anneau parfait à droite. D’autre part, si R est parfait à droite, R R est un générateur quasi-projectif endoArtinien dans la catégorie des R-modules.