Modélisations énergétiques de systèmes de stockage

Comme indiqué partie 1.3.1, nous avons utilisé des modèles de stockage relativement simpli- és. Nous les séparons en deux types : — un modèle idéal, où le système n’est représenté que comme un stock d’énergie limité par deux bornes (0 ≤ Esto ≤ Er ated ), avec éventuellement une limite de puissance (−Pr ated ≤ Psto ≤ Pr ated ).

Ce modèle permet d’étudier le comportement d’un stockage du seul point de vue de ses dimensions nominales (Er ated , Pr ated ), faisant abstraction de toutes pertes (d’où le caractère “idéal”). — des modèles électriques quasi statiques, où la tension aux bornes d’une cellule est une fonction (de forme quelconque) de la charge Qcell , du courant Icell et éventuellement de la température T .

Ces modèles, plus détaillés, permettent de calculer des pertes réalistes, car basées sur une connaissance technologique, plutôt que d’appliquer un coecient de pertes xe (“rendement constant”) de valeur arbitraire.

Par ailleurs, nous n’avons pas pris en compte les eets d’assemblage qui peuvent apparaître lors de la mise en série-parallèle de cellules pour construire un module : déséquilibre des cellules, variabilité des cellules, gradient de température au sein du module. Nous supposons donc implicitement une homogénéité parfaite : toutes les cellules d’un module sont à la même température, ont la même charge et la même tension.

Stockage idéal

Il s’agit d’un modèle dynamique avec une seule variable d’état : l’énergie stockée Esto. L’équation dynamique correspond à la discrétion de l’équation (1.2) : Esto (k + 1) = Esto (k) + Psto (k)∆t (2.1) où Psto (k) représente la puissance moyenne absorbée entre les instants k et k + 1. La contrainte (1.4) qui limite l’énergie stockable dans l’intervalle [0,Er ated ] se traduit alors par une limite sur la puissance absorbable : −Esto (k) ∆t 6 Psto (k) 6 Er ated − Esto (k) ∆t (2.2)

À cette contrainte énergétique, il faut ajouter éventuellement la contrainte sur la puissance maximale (1.3). Psto (k) doit alors appartenir à l’union de l’intervalle autorisé par (2.2) et de [−Pr ated ,Pr ated ]. Nous avons retenu cette écriture où Psto (k) est explicitement limitée pour l’utilisation en optimisation (chapitre 3), car cela permet de restreindre naturellement l’espace de recherche d’un optimum de puissance à absorber.

Écriture sans contrainte explicite

Dans une utilisation en simulation [52], nous avons trouvé plus simple, voire plus “physique”, d’utiliser une écriture ne faisant pas mention explicite de la contrainte énergétique (2.2). Nous faisons émerger la notion de “consigne idéale de stockage”, qui est la puissance que l’on souhaiterait voir absorbée si le stock d’énergie n’était pas limité. Nous la notons P ∗ sto. L’équation dynamique du stockage s’écrit alors : Esto (k + 1) = fsat  Esto (k) + P ∗ sto (k)∆t  (2.3) 

Modélisations énergétiques de systèmes de stockage où fsat est une fonction de saturation dénie par : fsat (E) =     0 si E < 0 E si 0 6 E 6 Er ated Er ated si E > Er ated (2.4) Cette fonction peut être vue comme une boucle de régulation rapprochée qui assure que l’énergie stockée ne sort pas de sa plage autorisée. Au nal, la puissance Psto qui est eectivement absorbée doit être calculée a posteriori : Psto (k) = Esto (k + 1) − Esto (k) ∆t (2.5) et il y a égalité entre la consigne P ∗ sto et sa réalisation Psto tant que la saturation (batterie pleine ou vide) n’est pas atteinte.

Intérêt du modèle

Malgré l’apparente simplicité d’une dynamique linéaire (2.1), la limite en énergie (1.4) rend le modèle non linéaire (2.3). Cette non-linéarité empêche beaucoup d’études analytiques. Nous pensons que ce caractère limité du stock d’énergie est au fondement du problème du stockage. À défaut d’études analytiques, nous procédons donc à des simulations numériques (présentées au chapitre 4) qui mettent en évidence des propriétés associées à la seule capacité Er ated .

Prise en compte des pertes Avec ce modèle idéal, la prise en compte de pertes peut se faire avec un coecient de pertes xe (Ploss = α |Psto |, avec par exemple α = 10 %). Cependant, les technologies de stockage ont souvent des pertes qui dépendent de l’état de charge ou bien qui ne sont pas proportionnelles à la puissance absorbée (e.g. les pertes par eet Joule).

Enn, et surtout, les pertes sont très souvent dépendantes de la capacité du stockage. Ainsi, pour la prise en compte des pertes, il nous a semblé plus naturel de reformuler le problème en faisant intervenir la variable d’état qui est sous-jacente à l’énergie stockée : la charge Qcell d’une cellule. C’est, par opposition à l’énergie Esto, la variable usuelle pour modéliser les stockages de type électrochimique.

Baerie Lithium-ion

Nous avons modélisé une batterie Lithium-ion d’après les relevés expérimentaux eectués par Yaël Thiaux pendant ses travaux de thèse [95]. Comme le modèle est basé numériquement sur ces relevés, il est spécique à la technologie 3 et au modèle étudié. Par contre, le modèle est générique dans sa structure. En eet, nous l’avons conçu pour qu’il puisse représenter sans modications structurelles une large palette de systèmes de stockage d’électricité, y compris les super-condensateurs.

Il sut à l’utilisateur de fournir la fonction V (Icell ,Qcell ) qui caractérise la tension aux bornes d’un élément. Nous commençons par présenter la structure du modèle avant de présenter les données associées aux batteries Lithium-ion. 3. technologie Lithium-ion NCA du fabricant SAFT : oxyde de Lithium Nickel Cobalt Aluminium à la cathode, graphite à l’anode. 31 2 Modélisations Cell assembly n cells cell Model of a cell Figure 2.1 – Assemblage de cellules et modèle électrique Structure du modèle

Le modèle de batterie est construit autour d’une cellule électrochimique qui est modélisée électriquement (tension, courant et charge). Cette cellule a une capacité xe. Pour rendre le dimensionnement énergétique (Er ated ) du stockage ajustable, nous considérons que la batterie est un assemblage homogène de n cellules (cf. gure 2.1). Ce nombre ajustable de cellules n’est pas nécessairement entier (n ∈ R+), car il s’agit d’une mise à l’échelle purement numérique, sans prise en compte d’une organisation physique (série-parallèle) des cellules.

Modèle électrique de cellule Électriquement, le modèle est quasi statique, c’est-à-dire que nous ne modélisons pas de chute de tension capacitive (associée à des phénomènes de diusion). Autrement dit, le modèle n’a qu’une seule variable d’état : la chargeQcell , ou de façon équivalente l’énergie stockée Esto (cf. relation entre les deux ci-après : (2.10)). Cela suppose que la batterie soit utilisée en un régime quasi statique : pas de uctuations rapides du courant. En particulier, le pas de temps ∆t du modèle est supposé égal à quelques minutes ou plus.