Modélisations continues à gradients de déformation approches phénoménologiques et micromécaniques

Théories d’ordre supérieur

Il est possible de formuler des théories de milieux `a gradient en incorporant les dérivées d’ordre supérieur du gradient de la déformation. Ainsi la théorie introduite par Mindlin [45] inclut les effets du second gradient de la déformation (théorie du triple gradient du déplacement). Cette théorie est présentée en section (1.1.2.1). On présente ensuite la théorie plus générale de Green et Rivlin qui inclut les dérivées du champ de déformation `a tous les ordres.

Modèle du triple gradient de Mindlin

Le modèle de triple gradient de Mindlin est formulé avec un potentiel fonction de la déformation E, du gradient de la déformation ∇E et du double gradient de la déformation ∇2E (dont les composantes sont Eij,kl) : W = 1 2 E : C 0,0 : E + hE : C 0,1 :· ∇E + h 2 2 ∇E :· C 1,1 :· ∇E + h 2E : C 0,2 :: ∇2E +h 3∇E :· C 1,2 :: ∇2E + h 4 2 ∇2E :: C 2,2 :: ∇2E (1.33) C 0,2 , C 1,2 et C 2,2 sont des tenseurs d’élasticité d’ordre 6, 7 et 8 respectivement. Ils possèdent les propriétés de symétrie : C 0,2 (ij)(kl)(mn) = C 0,2 (ij)(mn)(kl) ; C 1,2 (ij)k(pq)(rt) = C 1,2 (ij)k(rt)(pq) ; C 2,2 (ij)(kl)(pq)(rt) = C 2,2 (pq)(rt)(ij)(kl) = C 2,2 (kl)(ij)(pq)(rt) = C 2,2 (ij)(kl)(rt)(pq) (1.34) o`u : (ij) désigne l’invariance par permutation des indices i et j. A partir des lois d’état associées `a W, on définit les variables duales : Σ 0 = ∂W ∂E = C 0,0 : E + hC 0,1 :· ∇E + h 2C 0,2 :: ∇2E, Σ 1 = ∂W ∂∇E = hC 1,0 : E + h 2C 1,1 :· ∇E + h 3C 1,2 :: ∇2E, Σ 2 = ∂W ∂∇2E = h 2C 2,0 : E + h 3C 2,1 :· ∇E + h 4C 2,2 :: ∇2E (1.35) o`u : Σ0 , Σ1 et Σ2 sont des tenseurs d’ordre 2, 3 et 4 respectivement, ayant les mˆemes symétries que E, ∇E et ∇2E.

A partir du principe des puissances virtuelles (voir annexe 4.6) on montre que l’équation d’équilibre interne s’écrit : Σ 0 ij,j − Σ 1 ijk,jk + Σ2 ijkl,jkl + Fi = 0 (1.36) et les conditions aux limites suivantes : T 0 i = (Σ0 ij − Σ 1 ijk,k + Σ2 ijkl,kl)Nj +Lj [(Σ1 ijk − Σ 2 ijkl,l)Nk + Lk(Σ2 ijklNl) − (DjNj )(Σ2 ijklNkNl)] T 1 i = (Σ1 ijk − Σ 2 ijkl,l)NkNj + Lk(Σ2 ijklNl)Nj + Lj (Σ2 ijklNkNl) T 2 i = Σ2 ijklNjNkNl (1.37) Le modèle de triple gradient se compose de 3 équations scalaires d’équilibre (1.36) et 9 conditions aux limites (1.37). 

Modèle de Green et Rivlin 

Le modèle de Green et Rivlin généralise les modèles de Mindlin [44, 45] en introduisant toutes les dérivées du tenseur des déformations. Le potentiel élastique est choisi de forme : W = 1 2 nX =+∞ n=0 mX =+∞ m=0 h n+m∇nE ⊙n+2 C n,m ⊙m+2 ∇mE (1.38) qui est quadratique par rapport `a E et `a toutes ses dérivées ∇nE. Par ⊙n on définit le produit n fois contracté de deux tenseurs d’ordre ≥ n et tel que a ⊙n b est obtenu par contraction des n derniers indices de a et des n premiers indices de b.

Les tenseurs élastiques C n,m sont d’ordre n+m+4. Le potentiel ainsi définit, et introduit une infinité de variables d’état que E, ∇E, ∇2E, etc. On définit alors, `a partir des lois d’état, une infinité de variables duales : Σ n = ∂W ∂∇nE = mX =+∞ m=0 h n+mC n,m ⊙m+2 ∇mE (1.39) o`u Σ0 est la contrainte et Σ1 , Σ2 , etc. sont les hypercontraintes. Ces variables sont liées par la relation d’équilibre : Σ 0 ij,j − Σ 1 ijk,jk + Σ2 ijkl,jkl − … + Fi = 0 (1.40)

Modélisations micromécaniques des effets de gradients de déformation

On présente ici deux approches conduisant `a une formulation non locale du comportement macroscopique des milieux composites. La première décrite dans [72], introduit les fluctuations des moyennes statistiques dans le cadre des approches variationelles en homogénéisation linéaire de Hashin et Shtrikman [31, 32] et généralisées par Willis [67, 68, 69]. La deuxième classe d’approches consiste `a remplacer les conditions usuelles de déformation homogène au contour du VER par de nouvelles conditions introduisant les gradients de la déformation macroscopique. Les deux approches sont présentées et discutées en section 1.2.1 et 1.2.2. 

L’approche variationnelle de Drugan et Willis

Formulation variationnelle de Hashin-Shtrikman

Considérons un domaine infini V d’un milieu composite d’élasticité C(x), ici la dépendance de l’élasticité avec le vecteur position x caractérise l’hétérogénéité des propriétés élastiques locales.