Modélisation par la méthode des éléments finis et basée sur l’impédancemétrie

Modélisation par EF 3D en condition « libre-libre »

Du fait que les propriétés piézoélectriques, mécaniques et diélectriques du matériau PZT diffèrent de celles du matériau massif, il est nécessaire de déterminer 40 expérimentalement les paramètres du modèle décrivant le mieux possible le comportement du système. Ainsi, le but est d’obtenir un jeu de paramètres effectifs afin de construire un modèle EF de récupérateur d’énergie piézoélectrique réaliste. Dans le cas présent, il s’agit de récupérateurs constitués d’au moins une couche active piézoélectrique. Ainsi, une première étape consiste à étudier particulièrement cette couche piézoélectrique (cf. figure 2.1). 

Cas de la couche PZT 

Modèle analytique 1D

 Pour déterminer une partie des coefficients du modèle EF 3D, le modèle 1D analytique développé par Brissaud [122] est utilisé. Ce modèle unidimensionnel décrit les modes de résonance d’une plaque mince (cf. figure 2.2) respectant les conditions suivantes :  Conditions géométriques : L ≫ w, h (L est la longueur, w est la largeur et h est l’épaisseur de l’échantillon) ; ainsi, le mode d’extension latérale est principalement étudié.  Conditions mécaniques : le matériau est totalement libre ; les contraintes et déformations sont toutes nulles sauf T1 (T2 = T3 = T4 = T5 = T6 = 0 et T1 ≠ 0) et S1 (S2 = S3 = S4 = S5 = S6 = 0) dans le matériau.  Conditions électriques : le déplacement électrique et le champ électrique sont nuls dans le plan (x1, x2) (D1 = D2 = 0, E1 = E2 = 0) car l’échantillon est métallisé sur ses deux faces planes inférieures et supérieures ; le sens de polarisation est perpendiculaire à ces deux surfaces Le modèle EF nécessite pour sa mise en œuvre les tenseurs mécaniques, diélectriques et piézoélectriques complets du matériau. De ce fait, la question se pose de la détermination de la totalité des coefficients des 3 tenseurs. Pour y répondre, l’influence de tous les coefficients de ces 3 tenseurs sur le module de l’impédance électrique a été étudiée, et plus précisément sur les valeurs des fréquences de résonance et d’anti-résonance, ainsi que sur l’amplitude du module de l’impédance à ces fréquences. Une étude de sensibilité a donc été menée en faisant varier tous les coefficients qui n’ont pas été déterminés préalablement par le modèle analytique 1D décrit ci-dessus. Cette étude fait l’objet de l’article [124] inséré en annexe 1. La conclusion de cette étude est que tous les coefficients autres que (s11E, d31, ε33T) n’ont aucun effet ou ont un effet négligeable sur le calcul de l’impédance par le modèle EF 3D.

Etude expérimentale

 Dans cette partie, nous présentons l’aspect expérimental de notre étude sur la mesure  d’impédance électrique d’une couche PZT en configuration libre-libre. La mesure d’impédance  électrique nous permet de déterminer les paramètres effectifs de la couche PZT qui vont ensuite  être introduits dans un modèle EF 3D.

Configuration expérimentale

La méthode décrite ci-dessus a été appliquée à la détermination des paramètres effectifs de notre échantillon constitué d’une plaque mince de céramique PZT de dimensions 4 mm x 39 mm x 150 μm. Cet échantillon est fabriqué à partir d’une plaque en PZT de 40 mm x 40 mm x 420 µm. La plaque est amincie à l’épaisseur nominale de 150 µm, ensuite l’échantillon est  métallisé et enfin détouré à sa forme finale. L’impédance électrique de l’échantillon est mesurée  dans le domaine fréquentiel grâce à un analyseur d’impédance. La mesure est faite en posant la  couche PZT sur une électrode en cuivre qui permet la reprise de contact avec l’électrode  inférieure de l’échantillon (cf. figure 2.4). L’échantillon peut ainsi être relié à un analyseur  d’impédance Dispersion liée à l’incertitude sur la mesure d’impédance 

La mesure de l’impédance est faite à l’aide d’un analyseur d’impédance Agilent 4294A. Une dispersion de la mesure d’impédance de nos 10 échantillons supposés identiques a été observée, notamment au niveau de son module Zr (cf. figure 2.6). La dispersion observée dans la figure 2.6 peut provenir : – Des erreurs de mesure, peuvent être dues à l’appareil de mesure, les contacts électriques, … – Des imperfections géométriques de chacun des 10 échantillons. Afin d’étudier cette dispersion observée sur la mesure d’impédance, deux appareils différents sont utilisés : un analyseur Agilent 4294A (ci-après dénommé Agilent) et un analyseur HIOKI IM3570 (ci-après dénommé HIOKI). L’étude est réalisée sur 10 échantillons de dimensions 3 mm x 39 mm x 150 µm. Pour chaque échantillon, dix mesures d’impédance sont effectuées. Entre chaque mesure, les connecteurs sont relevés puis rabaissés. La variation de la mesure de Zr est présentée à la figure 2.7. Une variation maximale de 40,1 % est constatée sur les mesures réalisées avec le HIOKI, contre 71,8 % avec l’Agilent

Modèle EF 3D

 Le comportement électromécanique de la couche PZT est modélisé en utilisant le logiciel COMSOL Multiphysics®. Nous avons utilisé les modules suivants : mécanique du solide, électrostatique, circuit électrique et le couplage multi-physique « effet piézoélectrique » pour calculer l’impédance électrique de la couche PZT. Les paramètres de la modélisation sont listés ci-dessous :  Dimensions géométriques : 4 mm x 39 mm x 150 µm.  Maillage : l’échantillon est maillé avec 500 éléments hexaédriques de 0,8 mm x 0,78 mm x 75 µm.  Matériau : la relation charge-déformation est choisie pour modéliser la couche PZT, cela demande la connaissance des matrices des coefficients de souplesse 𝑠𝑖𝑗 𝐸 , des constantes piézoélectriques dij et des coefficients de permittivité relative 𝜀𝑖𝑗 𝑇 .  Conditions aux limites : l’échantillon est libre partout, aucune contrainte mécanique n’est appliquée ; l’échantillon est sollicité par une tension alternative de 0,1 V.  Domaine fréquentiel : 40 kHz – 48 kHz avec une précision de 10 Hz.

Ajustement par introduction des pertes 

La figure 2.9 montre le module de l’impédance mesurée comparé à celui obtenu avec les modèles analytique 1D (AN 1D) et EF 3D utilisant la base de données du matériau fournie par le constructeur. Une différence notable est observée entre la mesure et les modèles Le tableau 2.3 présente les valeurs du coefficient de détermination (R2 – ce coefficient est une mesure de la qualité de la prédiction d’une régression, il est égal au carré du coefficient de corrélation) obtenues à partir des courbes de la figure 2.9. La valeur de R2 est à peine supérieure à 30 % dans le cas du modèle EF 3D.