Modélisation multi-échelles du comportement
thermo-hydro-mécanique des matériaux hétérogènes

 Application au comportement d’une pâte de ciment

Nous nous proposons de décrire tout d’abord la composition d’une pâte de ciment afin de dégager les propriétés mécaniques des phases principales et leur composition granulométrique qui sont les données nécessaires à nos calculs d’homogénéisation. 

Propriétés de la pâte de ciment

Les pâtes testées dans ce travail sont des pâtes de ciment Portland I. Le ciment Portland est composé des constituants suivants : le clinker, le gypse (5% du ciment) et des ajouts de type laitiers, cendres volantes, fillers ou pouzzolanes. 90% du ciment est formé par les constituants du clinker avec : – 60 à 65% de silicate tricalcique (C3S) – 20 à 25% de silicate bicalcique (βC2S) – 8 à 12% de aluminate tricalcique (C3A) – 8 à 10% de alumino-ferrite tétracalcique (C4AF(2)) Les silicates (C3S et C2S) assurent la résistance mécanique de la pâte de ciment hydratée. Le squelette assurant la cohésion des silicates est obtenu lors du refroidissement, lorsque le liquide formé par le silicate tricalcique et l’aluminoferrite tétracalcique se cristallise. D’autres constituants du clinker, tels que les ions sulfates SO2− 4 et les alcalis NaO2 et KO2, représentant eviron 5% du clinker, sont en partie responsables de la dégradation des bétons, due à des réactions alcali-granulats [Bournazel and Moranville, ]. Le gypse (CaSO4, 2H2O) permet lui d’éviter une prise trop rapide de la pâte de ciment empêchant sa mise en place. Le gypse crée en effet des cristaux d’ettringite à la surface des grains de aluminate tricalcique. Enfin, Les laitiers, cendres volantes et pouzzolanes jouent un rˆole de filler en remplissant les vides de la pâte de ciment pour donner au final au béton une meilleure compacité. Ils permettent également de diminuer la chaleur d’hydratation. Des fumées de silice sont également employées dans la fabrication des Bétons Hautes Performances pour jouer là-aussi le rˆole de ’fillers’. En présence d’eau, les constituants anhydres s’hydratent. Il se produit alors une cristallisation qui aboutit à un nouveau système de constituants hydratés stables. La formation de cristaux en aiguilles plus ou moins enchevêtrées produit la prise. Parmi les hydrates formés, les plus connus sont : – la portlandite (ou hydroxide de calcium) (Ca(OH)2) ou CH – les silicates de calcium hydratés (CSH) – l’ettringite (C3A, 3CS¯, H32) D’autres hydrates sont également obtenus au cours des réactions chimiques de l’hydratation [Baroghel-Bouny, 1994]. En moyenne une pâte de ciment durcie contient 50 à 70% de silicate de calcium hydraté, et 25 à 27% de portlandite. La réaction chimique d’hydratation est régie par l’équation suivante (4.11). Elle s’accompagne d’un dégagement de chaleur : C3S +H2O → CSH +CH (4.11) Les volumes de produits hydratés (Vhyd = VCSH + VCH) et non-hydratés (Vnonhyd) peuvent être calculés par le modèle de Powers [Powers, 1960], [Powers, 1958] : Vhyd = (1 − 0.32)αhyd E/C + 0.32 (4.12a) Vnonhyd = 0.32(1 − αhyd) E/C + 0.32 (4.12b) o`u E/C représente le rapport d’eau sur ciment de la pâte de ciment à l’état initial, αhyd le degré d’hydratation. La valeur 0.32, retenue dans ces formules, représente le volume 80 4.2. Application au comportement d’une pâte de ciment spécifique moyen du ciment Portland. Le degré d’hydratation αhyd peut être calculé par le modèle de Powers dès que la porosité capillaire φ est connue par la formule [Powers, 1958] : αhyd = (1 − φ)E/C − 0.32φ 0.36 (4.13) Ce modèle nécessite donc la connaissance de la porosité en fonction du rapport E/C. Cette donnée peut être obtenue par des mesures au porosimètre à mercure par-exemple. De récents travaux [Consolati and Quasso, 2003] ont proposé une méthode différente pour caractériser le degré d’hydratation en tenant compte de la production d’hydrates en fonction du temps. Le degré d’hydratation du constituant i réagissant est calculé en fonction de l’âge t de la pâte mesuré en jours par la formule suivante : α i hyd = 1−exp[−ai(t−bi) ci ] (4.14) o`u ai ,bi ,ci sont des constantes associées aux hydrates. Ces constantes sont données au Tableau 4.2 par Consolati et Quasso [Consolati and Quasso, 2003] à la suite des travaux de Taylor [Taylor, 1987]. On peut alors calculer le degré d’hydratation de la pâte de ciment αhyd en prenant la moyenne des degrés d’hydratation des constituants i, pondérée par les masses des constituants. Le volume capillaire est alors obtenu par cette méthode en inversant la relation (4.13) : φ = E/C − 0.36αhyd E/C + 0.32 (4.15) Constituants i ai bi ci C3S 0.25 0.90 0.70 C2S 0.46 0 0.12 C3A 0.28 0.90 0.77 C4AF 0.26 0.90 0.55 Tableau 4.2 — Constantes associées aux hydrates de la pâte de ciment [Taylor, 1987].

Choix des phases

La pâte de ciment apparaˆıt donc comme un milieu poreux dont le squelette est représenté par les hydrates de ciment. Les pores sont de petite taille entre 10 nm et 100 µm de diamètre. Des courbes expérimentales de porosimétrie peuvent être trouvées dans la littérature. Une telle représentation de la pâte de ciment par le modèle Béton Numérique nécessite donc de mailler très finement le volume représentatif pour ne pas négliger les plus petits pores. Comme par-ailleurs le VER doit être suffisamment grand pour contenir une porosimétrie réaliste, les calculs numériques deviennent relativement coˆuteux en taille mémoire. C’est pourquoi, nous avons retenu de représenter le volume  représentatif de la pâte de ciment différemment. La pâte de ciment est construite en ajoutant à un domaine initialement vide, qui schématise le réseau poreux, des particules solides qui représentent les grains de ciment. Le volume des grains de ciment introduits est défini par un calcul préalable de la porosité en fonction du degré d’hydratation de la pâte de ciment à partir de la formule (4.15). Reste alors à connaˆıtre le pourcentage partiel de chaque grain selon son diamètre. Des mesures, réalisées au NIST, fournissent une courbe granulométrique classique de la distribution des grains de ciment dans la pâte [Bentz et al., 1999]. Le pourcentage volumique des grains selon leur diamètre, égal au rapport de la quantité de grains NGi de diamètre di sur le quantité totale de grains pour le ciment, peut ensuite être déduit par le modèle de Rosin-Rammler suivant la formule : NGi = 1−e −0.044di pour i compris entre 1 et le nombre total de grains (4.16) Les fractions volumiques de chaque taille de grain ainsi obtenues sont données au Tableau 4.3.

Caractéristiques mécaniques des phases

Les valeurs des modules élastiques intrinsèques des différents constituants solides de la pâte de ciment sont issus de travaux expérimentaux [Bernard et al., 2003]. Les 82 4.2. Application au comportement d’une pâte de ciment Figure 4.3 — Maillages des Volume Elémentaire Représentatif des pâtes de ciment de rapport E/C = 0.3, E/C = 0.4 et E/C = 0.5 avec les distributions granulométriques des particules de ciment données au Tableau 4.3. plages de grandeurs pour ces modules sont données au Tableau 4.4. En pratique, on retiendra la valeur moyenne des plages comme valeur du module d’Young de chaque constituant o`u l’on distingue deux types de CSH, CSHa et CSHb, révélés par les travaux de Constantinides et Ulm [Constantinides and Ulm, 2003]. Les fractions volumiques des constituants sont données au Tableau 4.5 pour différentes pâtes de ciment à des degrés d’hydratation distincts. Ces fractions sont estimées à partir du volume total d’hydrates (4.12a) et de la relation suivante [Powers, 1958] : VCSH VCH = 1.66 0.63 ainsi que de la formule (4.12) pour les produits non hydratés. Il est par contre difficile Chapitre 4. Simulation du comportement thermo-poro-élastique de matériaux cimentaires 83 Constituants Module d’Young (GPa) Coefficient de Poisson Hydratés CSHa entre 18 et 24 0.24 CSHb entre 27 et 35 0.24 CH entre 33 et 48 0.305 − 0.325 Non hydratés C3S entre 128 et 152 0.3 C2S entre 110 et 150 0.3 C3A entre 135 et 170 C4AF entre 100 et 150 Tableau 4.4 — Propriétés élastiques intrinsèques des constituants de la pâte de ciment [Bernard et al., 2003]. d’accéder aux fractions volumiques de chacun des constituants hydratés, comme parailleurs à la taille des particules de chaque constituant.  Tableau 4.5 — Volumes partiels des constituants pour différentes pâtes de ciment. En conséquence, l’approche auto-cohérent est utilisée pour, d’une part calculer le comportement homogénéisé des constituants non hydratés, et d’autre part le comportement homogénéisé des constituants hydratés en considérant les deux phases CSH et CH avec leur volume respectif VCSH et VCH et en utilisant la formule rappelée au chapitre 2. Puis, à nouveau le comportement de l’ensemble des constituants hydratés et non hydratés est homogénéisé par le modèle auto-cohérent. On obtient ainsi le comportement équivalent pour les particules de ciment donné au Tableau 4.6. Tableau 4.6 — Modules élastiques des constituants pour différentes pâtes de ciment. Toutes les particules de ciment seront donc affectées dans le calcul numérique de ce comportement homogénéisé et leur taille sera générée à partir du Tableau 4.3. Dans cette démarche, les particules ultra-fines n’ont pas été prises en compte, en partie à cause du manque de connaissances sur leur comportement. On choisit de dire  que l’action de l’eau est prédominante dans le réseau poreux en comparaison avec celle des particules ultra-fines. Nous introduisons alors dans les calculs une pression uniforme dans les pores. Cette pression est calculée à partir de la loi de Laplace par la formule [Dullien, 1979] : p−p0 = R.T vw .ln(Rh) (4.17) o`u R désigne la constante des gaz parfaits (R = 8.314 J.K−1 .mol−1 ), T la température absolue mesurée en Kelvin pris dans les calculs suivants égale à 293.15◦K, vw le volume molaire spécifique de l’eau pris ici égal à 1.8 10−5 m3 .mol−1 , p0 la pression de référence qui est la pression atmosphérique (0.1 MPa) et o`u Rh désigne l’humidité relative prise ici égale à la valeur arbitraire de 95%. Pour ce calcul, on obtient la pression de pore imposée de 7 MPa. Il nous reste maintenant à préciser les valeurs des coefficients de dilatation thermique des différentes phases du volume représentatif, l’eau, les particules hydratées et non hydratées. Soient : – le coefficient de dilatation thermique de l’eau à l’air libre vaut 70 10 −6 ◦C −1 , mais dans un milieu confiné tel que les pores, sa valeur est estimée par Valenza et Scherer [Valenza and Scherer, 2005] à environ αeau = 150 10−6 ◦C −1 , – en considérant une pâte complètement hydratée, Valenza et Scherer [Valenza and Scherer, 2005] ont mesuré pour le squelette solide constitué des particules hydratées (CSH + CH) un coefficient de dilatation thermique de αh = 10 10−6 ◦C −1 , Par commodité les particules CSH et CH sont supposées avoir le même coefficient. On ne dispose pas de données expérimentales concernant le coefficient de dilatation thermique des particules non hydratées. Par contre des mesures expérimentales de la dilatation thermique des pâtes de ciment donnent des valeurs comprises entre 5.5 10−6 ◦C −1 et 12 10−6 ◦C −1 . C’est pourquoi nous avons choisi d’identifier par approche inverse la dilatation thermique des particules de clinker non hydratées. Ainsi, pour une pâte de ciment de coefficient de dilatation thermique α = 5.79 10−6 ◦C −1 pour un rapport E/C = 0.3, on identifie numériquement par approche inverse le squelette solide de la pâte à la valeur αs = 6 10−6 ◦C −1 , et pour un rapport E/C = 0.4 αs = 9 10−6 ◦C −1 . Ensuite, en appliquant le schéma auto-cohérent, par approche inverse, le coefficient de l’ensemble des clinkers non-hydratés peut être identifié connaissant celui des hydrates (10 10−6 ◦C −1 ). Là encore, l’hypothèse est faite que toutes les particules non hydratées du clinker ont le même coefficient de dilatation thermique. On montre alors que le coefficient de dilatation thermique des particules non hydratées peut être choisi égal à 0. Ce résultat peut être validé en supposant que seule l’eau contenue est responsable des variations de volume du squelette solide et que les clinkers non hydratés ne contiennent pas d’eau. Dans les calculs qui suivent, seuls les coefficients de dilatation thermique des particules hydratées et de l’eau contenue dans les pores seront pris en compte. Chapitre 4. Simulation du comportement thermo-poro-élastique de matériaux cimentaires 

Comportement élastique de la pâte de ciment

A partir des caractéristiques mécaniques et géométriques des constituants de la pâte de ciment données au paragraphe précédent, la loi de comportement élastique équivalente de la pâte est calculée par simulation numérique sur le VER par génération aléatoire des particules de ciment. Différentes pâtes ont été étudiées pour différentes valeurs du rapport E/C. Les résultats obtenus pour les modules d’Young, les modules de compressibilité et de cisaillement (déduits du calcul du tenseur de rigidité homogénéisé) sont présentés au Tableau 4.16. Ils sont confrontés aux résultats fournis par les modèles analytiques : encadrement de Voigt et Reuss, bornes de Hashin et Shtrikman (HS − et HS +), approche auto-cohérent (AC). Ces modèles sont appliqués en considérant la pâte comme un milieu biphasé constitué d’un squelette solide affecté des propriétés équivalentes données au Tableau 4.6 et de pores dans la proportion φ correspondante à chaque pâte selon son degré d’hydratation. Les résultats de la simulation apparaissent bien encadrés par les bornes de Hashin-Shtrikman. On rappelle que ces modèles ne tiennent pas compte de la dispersion granulométrique réelle des particules de ciment. On observe une bonne confrontation des résultats numérique avec les différentes approches d’homogénéisation.  Tableau 4.7 — Modules élastiques équivalents des pâtes de ciment. Comparaison de la simulation avec des approches explicites d’homogénéisation. Les modules calculés par simulation sont donnés ici pour une seule direction de chargement. En effet, les résultats ont montré une certaine isotropie du matériau équivalent. On a choisi de montrer les valeurs des simulations correspondant à l’effort selon l’axe Oy. Les coefficients de Poisson sont accessibles directement par la simulation et donnent pour les différentes pâtes de ciment : Pour E/C = 0.3 νxy ≃ 0.24667 νyx ≃ 0.24798 Pour E/C = 0.4 νxy ≃ 0.25208 νyx ≃ 0.24986 Pour E/C = 0.5 νxy ≃ 0.25427 νyx ≃ 0.25588 Ces résultats montrent que l’on retrouve numériquement une isotropie de la pâte 86 4.2. Application au comportement d’une pâte de ciment homogénéisée. Des comparaisons peuvent également être faites avec les résultats expérimentaux proposés par Haecker et al. [Haecker et al., 2005]. On observe une certaine similitude de l’évolution des paramètres élastiques avec le rapport E/C. Le modèle de Haecker utilise des lois empiriques pour la simulation de matériaux cimentaires au jeune âge et donc présentant une porosité élevée. Notre approche numérique se heurte à la difficulté de disposer de paramètres matériaux pour ces cas. Nous avons réalisé les calculs pour les pâtes avec des rapports E/C supérieurs à 0.5 en supposant que le degré d’hydratation est égal à 1 et que les modules élastiques des constituants sont les mêmes que ceux de la pâte avec E/C = 0.5. Les propriétés des phases sont données dans le Tableau ??. L’évolution des modules d’Young homogénéisés pour différents rapports E/C ainsi obtenus est présentée à la Figure 4.4. Tableau 4.8 — Modules élastiques des constituants pour différentes pâtes de ciment. Figure 4.4 — Evolution des modules d’Young des pâtes de ciment hydratées en fonction du rapport E/C. Confrontation de la simulation avec des approches analytiques. Chapitre 4. Simulation du comportement thermo-poro-élastique de matériaux cimentaires 87 4.2.5 Comportement thermo-élastique de la pâte de ciment En résolvant cette fois le problème thermo-élastique sur le VER avec les propriétés des particules de ciment décrites précédemment, on obtient le coefficient de dilatation thermique homogénéisé pour différentes pâtes. Les résultats sont présentés au Tableau 4.9 et confrontés aux modèles analytiques : encadrement de Voigt et Reuss, bornes de Hashin et Rosen (HR − et HR +), schéma auto-cohérent (AC). Tableau 4.9 — Coefficients de dilataton thermique équivalents des pâtes de ciment. Comparaison de la simulation avec des approches explicites d’homogénéisation. 4.2.6 Comportement poro-élastique de la pâte de ciment Connaissant maintenant le comportement élastique équivalent de la pâte de ciment, on peut calculer le tenseur de Biot de la pâte ainsi que celui du squelette solide en appliquant l’équation (2.19) et ce pour différents rapports E/C = {0.3, 0.4, 0.5}. L’évolution du tenseur de Biot en fonction de ce rapport E/C est présentée à la Figure 4.5 et est confrontée à celle obtenue toujours avec la formule (2.19) mais le comportement équivalent étant cette fois-ci issu d’une homogénéisation analytique par les méthodes classiques : bornes supérieure de Hashin-Shtrikman et schéma auto-cohérent. Il apparaˆıt que plus le rapport d’eau sur ciment est élevé, plus il y a des pores, donc l’influence de ceux-ci est plus importante et le coefficient de Biot est élevé. Les résultats de la simulation sont proches de ceux obtenus avec le schéma auto-cohérent. La comparaison avec des résultats expérimentaux est par contre très difficile, étant donné le manque d’informations sur les valeurs du coefficient de Biot d’une pâte de ciment. Il est par contre possible d’avoir une idée sur la validité des résultats en calculant le coefficient de Skempton, plus souvent étudié que le coefficient de Biot. Le module de Biot (M) et le coefficient de Skempton (Bs) sont calculés numériquement à partir des équations (1.26 et 1.25) et leur évolution en fonction du rapport E/C est présentée à la Figure 4.6. L’ordre de grandeur des valeurs obtenues semble satisfaisant. En comparaison avec des études expérimentales, et en fonction du rapport entre les coefficients d’incompressibilité des phases réseau capillaire et squelette solide, les valeurs pour le coefficient de Skempton sont relativement bonnes.