MODELISATION MATHEMATIQUE DU PROBLEME

ntroduction Un corps se déplaçant à une certaine vitesse dans une grande atmosphère supposée immobile se comporte d’un point de vue aérodynamique comme un corps à l’arrêt sur lequel souffle un vent de même vitesse mais dans le sens contraire. C’est ce principe qui est utilisé dans les souffleries. On parle ainsi de vent relatif : les raisonnements sur un corps en déplacement ou sur un corps « soufflé » sont voisins. On considère un obstacle dont la surface est une portion d’un paraboloïde de révolution d’axe horizontal porté à une température constante se déplaçant avec une vitesse dans une atmosphère compressible immobile supposée étant un gaz parfait dont la température à l’« infini » est égale à .

On supposera que la température de la paroi (paraboloïde) est supérieure à celle du fluide : > . Pour étudier les transferts de chaleur et d’impulsion, on utilise en général un repère lié à l’obstacle. Ainsi dans un tel référentiel l’atmosphère souffle autour de la paroi immobile avec une vitesse . Dans toute la suite de notre travail, nous supposerons que le fluide qui est de l’air souffle sur la paroi paraboloïdale immobile. Dans ce chapitre, nous allons établir à partir des équations de Navier-Stokes compressibles et d’hypothèses simplificatrices les équations qui régissent le phénomène étudié.

Description du système

Nous considérons une portion de paraboloïde de révolution de nez A d’axe horizontal et de longueur de L . L’équation du paraboloïde dans le système de coordonnées cartésien est donnée par : est le paramètre du paraboloïde. Le fluide à la température souffle sur la paroi qui est maintenue à la température avec une vitesse en amont égale à Ainsi, au cours de son mouvement le fluide récupère de la chaleur et s’échauffe. Nous nous proposons dans cette partie de décrire mathématiquement les transferts de chaleur et d’impulsion. 

Hypothèses simplificatrices

Afin de simplifier la formulation du modèle mathématique, nous admettons les hypothèses simplificatrices suivantes :  Le fluide est considéré comme transparent et le rayonnement est négligé.  L’écoulement est laminaire.  Les propriétés physiques du fluide sont constantes sauf la masse volumique. 2 Formulation vectorielle du problème L’objet de cette théorie est de décrire par un système d’équations le comportement du fluide étudié. Ces équations permettront de résoudre un problème physique concret qui traduira essentiellement le modèle utilisé. 

En tenant compte des hypothèses simplificatrices que nous venons de citer et en négligeant les variations temporelles de la masse volumique, les équations de Navier-Stokes vectorielles et de la chaleur en variables primitives qui gouvernent le mouvement du fluide s’écrivent : avec et respectivement la viscosité dynamique et le coefficient de conduction thermique du fluide. est la chaleur spécifique à volume constant relié à la chaleur spécifique à pression constante par : est une constante indépendante de la nature de l’écoulement. Les quantités et sont spécifiques aux fluides compressibles. Elles traduisent les contributions des effets de compressibilité. est le tenseur des taux de déformations de composantes est la dérivée covariante définie par avec les coefficients linéaires de Christoffel dont les expressions sont données en annexe.