MODELISATION MATHEMATIQUE DE L’ECOULEMENT

 Modélisation mathématique

Position du problème Il s’agit pour nous d’étudier l’effet de la température sur l’écoulement forcé bidimensionnel dans un massif poreux homogène. L’écoulement est incompressible et se fait dans un plan homogène de hauteur H, rempli d’un matériau poreux de porosité , de perméabilité et de longueur L. Figure 5: Configuration géométrique du problème 0 L h3 h2 h1 Gaz Eau ve Pétrole Te Solide Solide X Z  A l’entrée du domaine on injecte de l’eau avec une vitesse ( ) et concomitamment on porte la température du pétrole à une température . Sous l’effet de sa viscosité le pétrole est entraîné et la variation de la température dans le milieu va jouer un rôle capital dans la diminution de la viscosité favorisant ainsi l’écoulement du pétrole.

Hypothèses simplificatrices

Pour étudier ce problème, nous admettons que les écoulements sont bidimensionnels, plans et incompressibles, les effets radiatifs négligeables et que les propriétés sont constantes sauf la viscosité du pétrole qui varie en fonction de la température selon une loi de la forme ( ) ( ) avec ( ) une fonction décroissante de la température et la viscosité du pétrole à la température de référence. Nous admettons aussi que l’écoulement est permanent. La structure poreuse est saturée, isotrope et homogène. Formulation mathématique du problème Les roches pétrolifères sont des milieux poreux saturés, en général avec deux types de fluides : l’eau et des hydrocarbures (qu’on appelle ici pétrole). L’extraction de l’huile nécessite de s’intéresser au déplacement de l’huile par l’eau. En effet, il est courant d’injecter de l’eau sous pression pour faire remonter les hydrocarbures par un puits de forage. Une autre situation consiste à jouer sur la viscosité dynamique du pétrole dans la structure poreuse en la chauffant par exemple.

Adimensionnalisation des équations.

Le système d’équations qui gouverne notre problème comporte beaucoup de problèmes et il devient utile de les agglomérer afin de réduire leur nombre. D’un autre côté dans le souci de généraliser l’étude nous allons rendre les équations adimensionnelles. Pour cela nous introduisons des grandeurs de référence et construisons des grandeurs réduites. Posons La longueur de référence La vitesse de référence L’écart de température de référence L’écart de pression de référence On notera ̅ ( ) la grandeur adimensionnelle associée à et la grandeur de référence relative à . En introduisant les grandeurs de références dans nos équations nous obtenons après calcul Equation de continuité ̅ ̅ ̅ ̅ ( ) Equation du mouvement