Modélisation mathématique

 L’étude des instabilités des écoulements est très importante pour la compréhension de la mécanique des fluides. La recherche de la solution d’un problème physique nécessite très souvent l’utilisation de grandeurs mathématiques. Ces dernières servent d’outils d’analyse, de calcul, et de mesure permettant de bien cerner le problème. L’objectif de ce chapitre consiste en la modélisation mathématique d’un écoulement de fluide viscoélastique dans une conduite délimitée par deux plaques planes d’axe horizontal. En mécanique des fluides, en supposant que le fluide est un milieu continu, on peut utiliser les lois classiques de conservations de la masse et de la quantité de mouvement qu’il faut adjoindre la loi de comportement du fluide considéré pour trouver la nature du problème posé.

Description et position du problème 

Dans le système de coordonnées(𝑒 𝑥,𝑒 𝑦), considérons l’écoulement Poiseuille d’un fluide viscoélastique situé entre deux plaques planes parallèles d’extension infinie d’équations 𝑦 = ℎ pour la plaque supérieure et 𝑦 = −ℎ pour la plaque inférieure. Les deux plaques sont séparées par une distance égale à 2h conformément à la figure 2 ci-dessous. Figure 2 : Représentation de la géométrie de l’écoulement de Poiseuille. L’origine O du système de coordonnées est prise à un point situé à mi-chemin entre les plaques, l’axe (𝑂𝑥) est suivant la direction de l’écoulement et parallèle aux plaques, l’axe (𝑂𝑦) est perpendiculaire aux plaques et l’axe (Oz) perpendiculaire aux autres axes complète le trièdre direct.

L’écoulement considéré ici est non stationnaire et incompressible. Le fluide viscoélastique utilisé est une solution de polymère obtenue par ajout d’un polymère à longue chaîne moléculaire dans un solvant newtonien (eau) et obéit au modèle d’Oldroyd-B.  L’écoulement est déclenché par la présence d’un gradient de pression horizontal imposé au système

Équation de continuité

C’est l’équation qui exprime la loi de conservation de la masse pour un volume de contrôle matériel. Compte tenu de l’incompressibilité de l’écoulement, elle s’exprime mathématiquement sous la forme : ∇⃗ . u⃗ = 0 (2.1) où u⃗ est le champ de vitesse ; ces composantes sont 𝑢 et 𝑣 dans la direction (𝑂𝑥) et (𝑂𝑦) respectivement

Équation du mouvement

Elle indique que le taux de variation de la quantité de mouvement contenue dans le volume de contrôle est égal à la somme de toutes les forces extérieures qui lui sont appliquées. En négligeant les forces de gravité, l’équation du mouvement s’écrit sous la forme : ρ [ ∂u⃗ ∂t + (u⃗ . ∇⃗ )u⃗ ] = −∇⃗ Ρ + μ1 ∇⃗ . (∇̄ ̄ u⃗ ) + ∇⃗ . 𝜏̿̿𝑝̿ (2.2) où 𝜌 : représente la masse volumique du fluide ; Ρ : la pression ; τ̄ ̄ p : le tenseur polymérique et μ1 : la viscosité dynamique du solvant. 

La loi de comportement de la solution de polymère

Les équations de conservation précédentes sont valables pour des fluides de nature très différentes, on doit ajouter une ou des relations précisant la constitution particulière du fluide. Pour ce cas d’étude, la solution de polymère obéit au modèle non linéaire d’Oldroyd-B décrit au chapitre I précédent par la relation (1.7). 𝜏̿̿𝑝̿ + λ1 Da Dt 𝜏̿̿𝑝̿ = 2μ2 𝛾̇ ̿ (2.3) où 𝜏̿est le tenseur polymérique.