Modélisation lagrangienne de l’atomisation 

Modèle de Pilch et Erdman

Pilch et Erdman [130] apportent des modifications au modèle de Reitz et Diwakar [142]. Tout d’abord, dans l’expression du nombre de Weber critique Wec (endessous duquel il n’y a pas fractionnement), la viscosité est prise en compte par le biais du nombre d’Ohnesorge Oh (= We0,5 l Re−1 l ) : Wec = 12  1+1, 077 Oh1,6 (1.17) De plus, le temps de rupture s’écrit de la manière suivante : tpe = Tbu a u  ρl ρg (1.18) où Tbu est une fonction de Weg et non une constante comme dans les modèles précédents : Tbu = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ 6 (Weg − 12)−0,25 si 12 ≤ Weg < 18 2, 45 (Weg − 12)0,25 si 18 ≤ Weg < 45 14, 1 (Weg − 12)0,25 si 45 ≤ Weg < 351 0, 766 (Weg − 12)0,25 si 351 ≤ Weg < 2 670 5, 5 si Weg ≥ 2 670 (1.19) Enfin, la variation de vitesse relative ur goutte-gaz après fractionnement est prise en compte dans le calcul du diamètre stable des gouttes après fractionnement dst : dst = Wec σ ρg(u − ur)2 (1.20) Mais la détermination de cette vitesse relative ur pose problème pour l’implantation de ce modèle. En outre, cette approche ne résout pas le problème de la discrétisation initiale du jet qui ne reflète pas les observations expérimentales. 1.2.4 Modèle Wave Reitz [138], dans son modèle Wave, prend une approche différente en considérant la croissance des instabilités de Kelvin-Helmholtz à la surface d’un jet de diamètre a et de vitesse relative gaz-liquide ur (figure 1.17). Une analyse de stabilité linéaire, décrite en détails par Reitz et Bracco [140], permet d’obtenir la longueur d’onde la plus instable Λ et son taux de croissance Ω : ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ 2Λ a = 9, 02 (1 + 0, 45 Oh0,5)(1 + 0, 4 Ta0,7)  1+0, 87 We1,67 g 0,6 Ω ρla3 8σ 0,5 = 0, 34 + 0, 38 We1,5 g (1 + Oh)(1 + 1, 4 Ta0,6) (1.21) où Weg et Oh sont définis avec le rayon du jet et Ta = Oh We0,5 g . Reitz [138] utilise ces résultats pour calculer le breakup des gouttes ou blobs, de diamètre a, modélisant le cœur liquide. Le rayon de ces blobs décroît linéairement (pendant un temps tbu), pour donner naissance à des gouttes filles de rayon r défini comme suit : r = B0 Λ (1.22) J.B. Fig. 1.17 – Représentation schématique des ondes se formant en surface du jet, donnant naissance à des gouttes [138] où B0 est une constante prise égale à 0, 61. On suppose que le rayon r des gouttes créées est proportionnel à la longueur de l’onde la plus instable. Le temps de breakup tbu est exprimé de la manière suivante : tbu = 3, 726 B1 a 2Λ Ω (1.23) où B1, dépendant de la géométrie de l’injecteur, est de l’ordre de 10. Enfin, ce modèle simule l’angle du spray θ de la manière suivante : tan θ 2  = 0, 188 Λ Ω ur (1.24) 1.2.5 Modèle Wave-FIPA Pour distinguer l’atomisation du cœur liquide devant l’orifice du fractionnement des gouttes, Habchi et al. [74] réalisent un couplage, dans KMB [73], entre le modèle Wave [138], décrit au paragraphe précédent, et un modèle de breakup de gouttes FIPA 4 mis au point par Lambert [99] et basé sur les corrélations expérimentales de Pilch et Erdman (cf. paragraphe 1.2.3). Ce modèle FIPA est préalablement validé par Habchi et al. [74] en utilisant les résultats expérimentaux de Liu et Reitz [105]. Pour le fractionnement des gouttes de diamètre a, le temps de breakup du modèle FIPA est défini comme suit : tbu = C1 Tbu a ur  ρl ρg (1.25) où C1 est une constante analogue à B1 du modèle Wave [138], Tbu est fonction de Weg comme dans le modèle de Pilch et Erdman [130] et ur est la vitesse relative entre les blobs et la phase gazeuse qui les baigne. Comme dans le modèle Wave, le diamètre a de la goutte mère instable, donnant naissance à des gouttes filles plus fines de diamètre d, varie continûment dans le 4FIPA : Fractionnement Induit Par Accélération Modélisation de l’écoulement polyphasique à l’intérieur et en sortie des injecteurs Diesel temps : da dt = − a − d (tbu − τs)β (1.26) avec β une constante qui permet d’adapter le comportement du modèle aux résultats expérimentaux et τs le temps écoulé depuis le début du breakup. Les effets de densité locale du spray sont aussi pris en compte pour déterminer les constantes intervenant dans le calcul du temps de rupture, en considérant de manière différente les blobs et les gouttes. Dans la zone dense, près de l’orifice d’injection, la vitesse relative ur est faible. Les ondes d’instabilité de surface sont par conséquent atténuées. Pour modéliser ces effets, Habchi et al. [74] font varier B1 (équation 1.23) en fonction de la densité du spray. Deux distances relatives critiques de gouttes sont définies : (x/d)1 = 3 et (x/d)2 = 50. Dans le cas où x/d > (x/d)2, on considère que les gouttes ne sont pas influencées par leurs voisines : la constante B1 est fixée à une valeur B12 = 10 et la constante C1 à C12 = 1. Si x/d < (x/d)1, le spray est alors très dense et on choisit B1 = B11, fixé par l’utilisateur, tandis que C1 est pris égal à C11 = C12B11/B12. Enfin, pour le cas intermédiaire, les constantes B1 et C1 sont obtenues par interpolation linéaire. La pénétration liquide calculée avec le modèle Wave-FIPA est conforme aux résultats expérimentaux, mais la pénétration de la phase gazeuse est assez nettement sous-estimée (figure 1.19). 

Modèle CLE

Afin de pallier au problème de sous-estimation de la pénétration de vapeur mis en évidence ci-dessus, Béard et al. [12] développent alors, dans KMB, le modèle CLE 5 qui permet de réduire la diffusion numérique de la quantité de mouvement des gouttes injectées. Son principe est de conserver la vapeur et la quantité de mouvement suivant la trajectoire des fragments liquides tant que le maillage n’est pas suffisant pour résoudre des gradients de vitesse et de concentration de vapeur de carburant. Le transport de la vapeur de carburant est ainsi modifié, de même que le couplage aérodynamique entre le jet et l’écoulement. On suppose que, près de l’injecteur, la vapeur accompagne le liquide dans son mouvement. Puis elle diffuse progressivement pour former le panache de la seconde partie du jet. Cette hypothèse est représentée en associant à chaque particule liquide p la vapeur qu’elle produit. En confinant cette vapeur dégagée par les gouttes autour de celles-ci dans des particules gazeuses, on peut en calculer le transport de manière lagrangienne, afin d’éviter la diffusion numérique exagérée due à la non-résolution des gradients de concentration par le maillage (figure 1.18). On procède de la même manière pour la quantité de mouvement afin de mieux résoudre les gradients de vitesse.