Modélisation et approximation numérique des écoulements multi-composants multi-phasiques dans un milieu poreux

Modèle Puits

Ce chapitre est consacré à l’étude d’un modèle puits 2D axisymétrique, basé sur les équations classiques de conservation de la masse, de Navier-Stokes et de conservation de l’énergie. La discrétisation en temps conduit, à chaque pas de temps, à résoudre un problème non-linéaire dont les équations sont découplées et dont les inconnues sont le flux massique G = _u, la vitesse u, la pression p, la température T, le flux de chaleur q = _rT et la densité _. On modélise un domaine de plusieurs centaines de mètres de hauteur pour un diamètre n’excédant pas quelques centimètres. L’écoulement est donc essentiellement vertical dans l’ensemble du puits. Afin de prendre en compte cette géometrie particulière et le sens privilégié de l’écoulement, on dérive un modèle quasi 1D, en explicitant la dépendance en r des inconnues et en intégrant dans la direction radiale. Ainsi, on ne gère pas des calculs 2D coûteux dans le puits et on évite toute instabilité numérique dûe au maillage 2D.

Une première approche a été développée dans [21] et a abouti à un modèle bien posé qui a été validé par des essais numériques. Une méthode de point fixe autour de la densité a été appliquée pour résoudre le problème non-linéaire. Une fois G = (Gr,Gz) calculé, l’idée consiste à déterminer complètement la composante radiale ur de la vitesse u = (ur, uz) à partir de Gr grˆace à la relation ur = G_ _ sur les perforations et aux conditions limites. On néglige donc l’équation du moment correspondante et on résout ensuite un problème de quasi-Stokes pour (uz, p) et une formulation mixte pour (q,T). Afin de coupler le modèle puits avec le modèle réservoir, on utilisera ici un modèle 1.5D de puits différent. Plus précisément, on détermine les deux composantes de la vitesse ur et uz en utilisant les équations de Navier-Stokes. On remplace cette fois-ci, la condition aux limites sur les perforations qui porte sur la vitesse radiale par une autre sur les forces normales. Cette dernière a l’avantage de faire apparaître une condition de transmission naturelle à l’interface liant ainsi les équations du puits avec celles de réservoir. On montre alors que ce modèle appelé 1.5D conservatif, est bien posé tant au niveau continu que discret.

Convergence en maillage

Afin d’utiliser des maillages de plus en plus raffinés sans trop augmenter le nombre de degrés de libérté, on considère dans ce paragraphe un réservoir dont les dimensions sont volontairement réduites à 10m de longueur et 2m de hauteur. Le réservoir est formé de deux couches aux caractéristiques physiques et thermodynamiques homogènes ; seule la couche la plus profonde est perforée. Pour ce test, on simule la production d’une huile légère sur une periode d’une semaine en imposant un débit constant (de 1500 m3/jour) à la surface du puits et une pression constante sur la façade extérieure du réservoir. Dans la suite, notre objectif est d’étudier le comportement de la pression et de la température en fonction du raffinement du maillage. Pour ce faire , on construit des maillages congruents Th i , i 2 {2, 4, 8} à partir d’un maillage initial grossier Th comme suit : chaque triangle du réservoir est divisé successivement en quatre triangles congruents et par conséquent, chaque rectangle du puits est divisé en deux rectangles congruents. Notons que le puits n’est raffiné que dans la direction verticale afin de tenir compte du modèle 1.5D considéré. La solution obtenue sur le maillage le plus fin Th 8 est prise comme la solution de référence. Pour chaque maillage intermédiaire, on évalue en norme L2 l’erreur entre la solution ici calculée et celle de référence. On représente sur les Figures 3.3 et 3.4 le logarithme de l’erreur en fonction de log(1/h), pour la pression et la température respectivement. On obtient numériquement : kT − Thk0, _ Ch_, avec _ approximativement égale à 1.1 dans le réservoir et à 1.5 dans le puits. On obtient des résultats similaires pour la pression, cf. Figure 3.4. Donc, conformément à ce que l’on attend, l’erreur diminue avec le raffinement du maillage.

RÉSULTATS NUMÉRIQUES

terrain ainsi qu’avec des logiciels analytiques pour la pression comme PIE (cf. www.welltestsolution.com) a été réalisée. On se propose donc de valider notre simulateur en comparant les résultats obtenus par le code couplé avec ceux donnés par les codes séparés. A ce propos, on reprend le mˆeme gisement réel présenté dans (Cf [1], [21]). Le réservoir est formé de sept couches dont trois sont perforées et ayant comme hauteurs respectives du haut en bas : 5.5m, 3.2m, 1.5m, 2.7m, 1.7m, 2.3m et 3.1m. Caractérisé par des propriétés physiques assez hétérogènes (cf. Figure 3.5), le réservoir est de 20m de hauteur et de 50m de largeur. Le puits associé est de 70m de hauteur pour un rayon de seulement 0.15m. On simule la production d’une huile légère pendant 28 jours en imposant une pression constante p = 400 bars et un flux de chaleur nul q · n = 0 sur la façade extérieure du réservoir . Pour le code couplé, on impose un débit Q = 6500 m3/jour à la surface du puits alors qu’une différence de pression _p = 10 bars est appliquée entre la paroi extérieure du réservoir et les perforations lorsqu’on simule le réservoir tout seul. On se propose de retrouver ces deux conditions limites en comparant nos simulations. Toutes ces données sont réelles. Il est utile de rappeler que pour le code puits tout seul, les valeurs des conditions aux limites sur les perforations sont données par le code réservoir. En ce qui concerne le pas de temps, on a remarqué que la condition _t suffisamment petit (exigée par certains résultats théoriques) ne semble pas influencer la performance du code. Différents pas de temps peuvent ˆetre choisis pendant la simulation. Pour ce test, des petits pas de temps (de l’ordre d’une heure) sont pris pendant le régime transitoire alors que des pas plus grands (de l’ordre d’un jour) peuvent ˆetre imposés, dès que le régime permanent est atteint. Comparons à présent les résultats du code couplé avec ceux du code réservoir.

RÉSULTATS NUMÉRIQUES

On peut constater d’après la Figure 3.6 que pour le code couplé, le débit imposé à la sortie du puits crée une différence de pression _p w 10 bars dans le réservoir. Ce résultat coincide parfaitement avec la condition limite imposée pour le réservoir tout seul. Concernant la température, un petit rechauffement aux abords du puits dˆu à l’effet Joule-Thomson est remarqué dans les deux cas. Les graphiques obtenues par les deux simulateurs sont très similaires, comme le montre la Figure 3.7. Il va de mˆeme pour la comparaison avec le code puits tout seul : on observe sur la Figure 3.8 des valeurs analogues pour Gz (à partir duquel on peut calculer le débit de production dans le puits avec une condition de compatibilité). On reproduit donc par le code puits, le débit Q imposé comme condition limite pour le problème couplé. On souhaite maintenant suivre l’évolution du réservoir et du puits pendant un mois de production. On représente respectivement dans les Figures 3.9, 3.10 et 3.11 les cartes de pression, de température et de densité obtenues par le code couplé. Plus précisément, on représente l’état initial du réservoir ainsi que son état à la fin de la production. Une fois les résultats stabilisés à t = 2jours, on s’intéresse à la periode transitoire en traçant les graphiques tous les 7jours. Les figures mentionnées ci-dessus se concentrent aux abords des perforations.

Du fait de la géométrie du domaine, notamment le rapport assez grand entre les rayons du réservoir et du puits, on ne visualise que 10m du réservoir dans la direction radiale. On peut noter que ces résulttas numériques correspondent à un comportement physiquement admissible et attendu par les ingénieurs réservoir. En plus, les conditions de transmission imposées à l’interface sont parfaitement satisfaites : la tempé rature prend les mˆemes valeurs dans le réservoir et dans le puits alors que le pression est un peu différente traduisant la relation p2 − _rr = p1. Finalement, on représente le flux spécifique G. Comme on peut remarquer sur la Figure 3.12(a), la vitesse calculée dans le puits est beaucoup plus importante que celle dans le réservoir. En effet, pour une cellule donnée dans le puits, le flux est obtenu par sommation des contributions des perforations plus basses. Afin de mieux visualiser l’écoulement au niveau des perforations, on applique des échelles différentes dans les deux domaines (de rapport égal à 10). Les graphes correspondants sont présentés dans la Figure 3.12(b).