MODÉLISATION ÉLECTROMÉCANIQUE DES SYSTÈMES ROBOTIQUES

INTRODUCTION

L’étude de la dynamique des systèmes électromécaniques réels possédant une cinématique complexe n’est pas aisée [Samin 07, McPhee 04, Sass 04]. On peut citer des exemples de tels systèmes : robots poly articulés [Konno 02] et à pattes [Taylor 11, Moraru 02] (fig. 2.1), machines-outils et tables motorisées , installations de levage dans les mines [Borysenko 07, Kaczmarczyk 03] (fig. 2.5). La compréhension de leur comportement se complique beaucoup par des phénomènes non linéaires dus aux jeux et aux élasticités [Lamy 11, Sinou 05, Zhou 05, Yang 04, Lagerberg 04, Soares 99].

Du point de vue des propriétés fonctionnelles, on peut distinguer dans tout système électromécanique un ensemble de nœuds de transmission qui ont pour but d’entrainer l’énergie mécanique d’une source en un organe exécutif. En considérant les transformations électromagnétiques et mécaniques dans le moteur d’entrainement on obtient le couple moteur appliqué au système mécanique, lequel peut comporter des éléments ayant des propriétés élastiques tels que les arbres longs, manchons, réducteurs, courroies, ressorts (fig. 2.1 – 2.6).

La prise en compte des propriétés élastiques des éléments des liaisons entre des masses ponctuelles est intéressante pour la modélisation des systèmes électromécaniques. Ces propriétés sont caractérisées par les valeurs de la raideur et l’amortissement [Van de Wouw 04, Shimizu 03, Wasfy 03, Gladwell 01, Gladwell 95].

Le transfert de l’énergie mécanique à travers ces éléments élastiques engendre des oscillations non désirables qui modifient les couples et les forces agissants sur le mécanisme. Ainsi, dans un robot dont les articulations sont élastiques (fig. 2.1), la position angulaire de l’arbre du moteur peut être en retard ou en avance dans le temps sur son articulation créant un déphasage qui peut être considéré comme une erreur.

Figure 2.1 Actionneur compact avec élasticité en série, qui mime les caractéristiques dynamiques de l’humain, utilisé dans les robots bipèdes (extrait de [Taylor 11]) 0,5 m 20 kg Modélisation et compensation des déficiences linéaires et non linéaires dans les transmissions électromécaniques des robots humanoïdes  Figure 2.2 Mécanique de la transmission (extrait de [Barre 04]), modélisation discrète de l’axe d’une machine-outil à structure parallèle (extrait de [Barre 95]) et son modèle simplifié (extrait de [Dumetz 98])

Figure 2.3 Mécanique de l’injecteur linéaire de palettes, modèle précis et simplifié (extrait de [Barre 04]) 0,3 m 5 kg Charge jusqu’à 700 kg Vitesse 2m/s Accélération 20 m/s2 Longueur 1,5 m Modélisation et compensation des déficiences linéaires et non linéaires dans les transmissions électromécaniques des robots humanoïdes V. KHOMENKO Page 56 2013-07-03 Figure 2.4 Fraiseuse à colonne et son modèle élastique (extrait de [Pruvot 93])

Figure 2.5 Cinématique de l’installation de levage par skip (extrait de [Borysenko 07]) On utilise souvent des schémas équivalents simplifiés lesquels ne correspondent pas exactement à la topologie cinématique du système considéré et ne prennent pas en compte la totalité les phénomènes oscillatoires qui apparaissent pendant leur fonctionnement.

On réduit souvent [Cano 07, Wu 06, Barre 04, Burgin 01, Guillaud 99] la description mathématique d’un système élastique complexe à un schéma de calcul à deux masses ce qui dégrade l’exactitude des résultats. Par contre, cette simplification peut être utile pour la présentation d’un système avec une masse distribuée par un système à un nombre de masses discrètes [Watanabe 04] (fig. 2.6).

PRINCIPE DE MODÉLISATION ÉLECTROMÉCANIQUE GÉNÉRALISÉ

Pour la modélisation, nous supposons que toutes les variables d’état sont liées directement ou indirectement à la fréquence de rotation (pour la translation à la vitesse de mouvement) de la première masse de la chaîne cinématique. Nous admettons de plus les hypothèses suivantes :  Les masses sont considérées comme ponctuelles.  Toute force, agissant sur le système, est supposée agissant en un point.  La masse de chacun des éléments élastiques est attribuée à une des masses prises en compte dans le calcul.

Les éléments élastiques sont considérés comme n’ayant pas de masse, mais pour diminuer le nombre de blocs dans le modèle, leur masse est ajoutée à la masse du corps auquel l’élément élastique est connecté. Quand un élément élastique est connecté à deux corps en mouvement, on ajoute une moitié de la masse de cet élément à la masse de chacun de ces deux corps.  On approxime les déformations dues à la propagation des ondes dans les éléments élastiques longs par un nombre n des masses connectés en série.

À partir de ces hypothèses, un système électromécanique peut être représenté par un schéma dont le nombre d’éléments, donc de masses, dépend de la précision souhaitée dans la modélisation. L’influence de ces masses les unes par rapport aux autres, dépend de la topologie de la chaîne cinématique qui peut être quelconque (série, parallèle ou mixte). Pour généraliser le calcul de ces systèmes multimasses complexes nous avons déterminé « des unités structurelles de base ». Le paragraphe suivant représente leurs modèles mathématiques.

Système de base à deux masses

Dans le but de montrer notre méthode de généralisation nous proposons dans un premier temps de considérer le système sans jeux et sans frottements. Par la suite nous verrons qu’il sera possible d’introduire dans le modèle généralisé ces non linéarités.  Représentation par les équations différentielles Le modèle cinématique d’un système à deux masses présenté sur la figure 2.7 peut être considérée comme un modèle élémentaire qui se compose de deux masses ponctuelles liées par un arbre élastique radialement. Il est présenté pour le mouvement rotatif, mais sa structure pour le mouvement de translation est la même, donc toutes les résultats présentés dans ce paragraphe sont applicables pour des mouvements en rotation et en translation.