Modélisation d’une série temporelle

Les séries temporelles, appelées aussi séries chronologiques (ou même chroniques), occupent une place importante dans tous les domaines de l’observation ou de la collection de données macroéconomiques. Une série temporelle est une suite d’observations indexées par les entiers relatifs tels que le temps. Pour chaque instant du temps, la valeur de la quantité étudiée est appelé variable aléatoire. L’ensemble des valeurs quand varie est appelé processus aléatoire: Une série temporelle est ainsi la réalisation d’un processus aléatoire. La date à laquelle l’observation est faite est une information importante sur le phénomène observé.

Propriétés de base des séries temporelles

Un modèle de série temporelle univarié décrit le comportement d’une variable en termes de ses valeurs passées. Voici trois exemples : Le premier exemple correspond à un modèle autorégressif d’ordre p noté AR(p) Où sont des paramètres à estimer positifs ou négatifs, est un aléa guaussien . Dans le processus autorégressif d’ordre p, l’observation présente ( est générée par une moyenne pondérée des observations passées jusqu’à la p-ième période.

Le second est un modèle de moyenne mobile d’ordre q noté MA(q) Où sont des paramètres à estimer positifs ou négatifs, est un aléa guaussien . Dans le processus de moyenne mobile d’ordre q, chaque observation est générée par une moyenne pondérée d’aléas jusqu’à la q-ième période. Dans ce processus, tout comme dans le modèle autorégressif AR, les aléas sont supposés être engendrés par un processus de bruit blanc62 . le troisième est un modèle de moyenne mobile autorégressif noté ARMA(p,q) 

La stationnarité

Avant le traitement d’une série chronologique, il convient d’en étudier les caractéristiques stochastiques. Si ces caractéristiques -c’est à-dire son espérance et sa variance- se trouve modifiées dans le temps, la série chronologique est considérée comme non stationnaire ; dans le cas d’un processus stochastique invariant, la série temporelle est alors stationnaire. Le processus est stationnaire si : 1. est indépendante de t 2. est une constante finie indépendante de t 3. est une fonction finie de k et ne dépend pas de t Nous ne pouvons identifier clairement les caractéristiques stochastiques d’une série chronologique que si elle est stationnaire.

Cette étude s’effectue à partir des fonctions d’autocorrélation ou de leur représentation graphique appelée corrélogramme. Une série chronologique est stationnaire si elle ne comporte ni tendance ni saisonnalité et plus généralement aucun facteur n’évoluant le temps

Fonction d’autocorrélation simple et partielle

La modélisation d’une série temporelle consiste à déterminer les retards p donnant la meilleure représentation du mouvement de la série à partir de sa fonction d’autocorrelation d’une part, et sa fonction d’autocorrelation partielle d’autre part. La fonction d’autocorrelation est obtenue en calculant le rapport entre la covariance des séries et et la variance de la série

La fonction d’autocorrelation partielle correspond à la correction entre et lorsque la partie expliquée par les variables ( est omise, elle est calculée de la manière suivante. La représentation de la fonction d’autocorrelation c’est-à-dire le corrélogramme de la série et de sa fonction d’autocorrelation partielle permet d’identifier les caractéristiques de la série. Un processus autorégressif d’ordre p a une fonction d’autocorrelation qui décroit de manière exponentielle et/ou sinusoïdale et une fonction d’autocorrelation partielle avec des pics pour les p premiers retards. Un processus MA (q) a une fonction d’autocorrélation avec des pics pour les q premiers retards et une fonction d’autocorrélation partielle qui d’écroit de manière exponentielle et/ou sinusoidale.