Modélisation d’une cellule cMUT isolée
Equation de comportement mécanique et acoustique
Lorsqu’une cellule cMUT est placée dans un fluide non visqueux, le comportement de son diaphragme est soumis à deux pressions extérieures : la pression électrostatique générée par la tension d’excitation (pe(x, y, t)) et la pression exercée par le uide du fait du déplacement de la membrane (pr(x, y, t)) (voir gure 5.1). En considérant que le comportement.
Discrétisation des équations et résolution par diérences nies
Une discrétisation de la membrane est réalisée an de résoudre, par diérences nies, l’équation traduisant son comportement (équation 5.13). Les détails liés à cette étape de discrétisation sont présentés dans plusieurs publications de notre laboratoire [27, 85, 84]. Un maillage régulier de la membrane est ainsi réalisé dans les directions x et y (voir gure 5.2). Les pas du maillage suivant les directions x et y sont respectivement δx et δy. La surface élémentaire du maillage dS vaut donc : dS = δxδy. Sous forme discrète, l’équation comportementale de la membrane devient : [M] d 2 dt2 [u] = −[Km][u] + [Kperte][u] + [Ksof t][u] + [pdyn] + [pr] (5.14) où : [u] est le vecteur déplacement de la membrane, [M] est la matrice des masses, [Km] est la matrice de raideur, [Kperte] est la matrice d’amortissement, [Ksof t] est la matrice de softening, [pdyn] est le vecteur de la pression entrainement dynamique, [pr] est le vecteur de la pression de rayonnement. La construction de ces diérents vecteurs et matrices est présentée dans la thèse de Cyril Meynier [84]. On précise juste ici que les conditions limites de la membrane sont intégrées dans la construction de la matrice des raideurs [Km]. De façon classique [1], la matrice d’amortissement ([Kperte]) est dénie en fonction de la matrice des raideurs ([Km]) de la manière suivante : [Kperte] = jωα[Km] (5.15) avec α le facteur de perte de la membrane est exprimé en seconde. Les pertes mécaniques de la membrane étant négligeables devant celles liées à la masse du uide, nous avons fait le choix de dénir arbitrairement le facteur de perte de la membrane à une valeur faible (α = 10−9 seconde). Pour la suite de notre étude, la matrice des raideurs [Km] et la matrice d’amortissement [Kperte] sont regroupées sous la forme d’une matrice des raideurs complexe [K], permettant de traduire l’amortissement des membranes. [K] = [Km] (1 − jωα) (5.16) Une matrice de condition aux frontières [Kf luide] (de type BEM : Boundary Element Matrix) est utilisée an de relier le champ de pression [pr] au champ de déplacement [u] de la membrane : [pr] = jω[Kf luide][u] (5.17) Dans le cas où la cellule cMUT est isolée dans un uide, la matrice [Kf luide] est calculée en utilisant la fonction de Green (G(~r, ω)) en trois dimensions d’un milieu semi-inni pour des conditions de bae rigide. Chaque élément Kf luide , ij de la matrice correspond à la pression exercée au point j par le déplacement d’un point source placé au point i. La pression des éléments de surface sur eux-mêmes, correspondant au terme Kf luide , ii de la matrice, est obtenue en utilisant l’expression de l’impédance de rayonnement d’un piston de petites dimensions.
Mise en place du schéma électroacoustique équivalent
L’objectif de cette section est de dénir un schéma électroacoustique équivalent d’une cellule isolée en s’appuyant sur le modèle exact. Le schéma électroacoustique équivalent mis en place est présenté gure 5.3. Selon la dénition de Foldy [41], ce schéma équivalent est réalisé de façon à assurer la conservation de deux des grandeurs acoustiques obtenues à partir du modèle exact : la puissance emmagasinée par le cMUT et la vitesse moyenne de déplacement de la membrane. Pour cela, de nouvelles grandeurs acoustiques équivalentes sont introduites. La force électrostatique (Fe) et la force de rayonnement (Fr) ainsi dénies correspondent aux grandeurs associées au comportement d’un piston équivalent, en termes de puissance et vitesse moyenne, à notre cellule. Ainsi, les variables composant la partie électrique sont : v la tension d’excitation appliquée aux bornes du cMUT, i le courant entrant dans la cellule et C0 la capacité statique de la cellule. La partie acoustique est composée de Zm l’impédance mécanique de la membrane, Zr l’impédance de rayonnement de la membrane sur elle-même, et hu˙i la vitesse moyenne de déplacement de la membrane. La partie électrique est reliée à la partie acoustique par l’intermédiaire du coecient de transformation électroacoustique Φ. Il est important de préciser que le coecient de transformation électroacoustique déni ici est lui aussi diérent de celui exprimé à partir du modèle exact. Ainsi, selon la dénition de Foldy [41], l’impédance de rayonnement de la membrane sur elle-même (Zr), l’impédance mécanique de la membrane (Zm) et le coecient de transformation électroacoustique (Φ) s’écrivent : Zr = 2Pr |hu˙i|2 (5.21) Zm = 2Pm |hu˙i|2 (5.22) Φ = 2(Pm + Pr) hu˙ ∗iv (5.23) où : Pr est la puissance acoustique de rayonnement, Pm est la puissance mécanique emmagasinée dans la membrane, ∗ indique le conjugué. Ces deux grandeurs s’expriment facilement en fonction des matrices dénies à partir du modèle distribué [85]. On a donc : Pr(ω) = 1 2 [ ˙u][Kf luide][ ˙u] ∗ (5.24) Pm(ω) = 1 2 [ ˙u] −ω 2 [M] + [K] − [Ksof t] [ ˙u] ∗ (5.25) Notons que ce choix de schéma équivalent ne permet pas de préserver une expression analytique de la force électrostatique et donc, de la réutiliser pour des simulations temporelles. D’autres auteurs [102] ont fait le choix de préserver l’expression de la force électrostatique et de la vitesse moyenne, ceci an de prendre en compte la non linéarité du cMUT par des simulations temporelles. Pour une conguration de cellule donnée (voir tableau 5.1), nous avons représenté gure 5.4 la réponse en fréquence de la vitesse moyenne de la membrane et ses diérentes déformées associées. Pour les simulations présentées ici, on considère que la cellule cMUT est immergée dans l’eau (ρ0 = 1000 kg\m3 et c0 = 1500 m/s). Sur la gure 5.4-(a), trois fréquences de résonance de la membrane sont parfaitement identiées (à 3.8 MHz, 23.7 MHz, et 38.7 MHz). A la fréquence de résonance de tous ces modes, la valeur absolue de la vitesse moyenne est à un extremum et sa phase subit une inversion. Tous ces modes de résonance sont symétriques (gure 5.4-(b), (c) et (d)). Le mode 1, observé à 3.8 MHz, correspond au mode de résonance fondamentale (1,1) de la membrane (gure 5.4-(b)). Un maximum de vitesse lui est ainsi logiquement associé. A la fréquence de résonance du mode 2, la forme du déplacement produit une vitesse moyenne nulle (gure 5.4-(c)). Cette fréquence de coupure ainsi formée, délimite la bande passante de la cellule. Ce mode résulte de la combinaison des modes de vibration (1,3) et (3,1) de la membrane. Le mode de vibration 3 correspond au mode (3,3) de la membrane (gure 5.4- (d)). Selon ce mode, les angles et le centre de la membrane vibrent en phase. Un maximum local de vitesse est ainsi observé à sa fréquence de résonance.