Modélisation d’un objet par une quadrique

La stratégie de saisie choisie consiste à approcher la pince qui équipe le système robotique perpendiculairement à l’axe principal de l’objet. C’est une stratégie de saisie très simple qui est bien adaptée aux objets présentant de fortes symétries, globalement convexes et ont une répartition massique homogène (voir les hypothèses en annexe C). Pour parvenir à une telle saisie, les informations qui caractérise l’objet d’intérêt sont :  ses axes principaux ;  son centre d’inertie ;  ses dimensions principales. Dans ce chapitre, nous montrerons tout d’abord qu’approximer la forme d’un objet par une quadrique permet d’obtenir une modélisation qui contient toutes ces informations. Le second paragraphe présentera les propriétés projectives des quadriques sur lesquelles se basent les méthodes de reconstruction qui sont présentées dans le chapitre suivant. 

L’objet à saisir est inclus dans une enveloppe paramétrable par une fonction implicite h(X,P), où X est un point appartenant à la surface de la fonction et P représente l’ensemble de paramètres de la fonction. Cet objet est observé depuis N points de vue par une caméra et ses contours dans les N plans image sont inclus dans des fonctions génératrices g(x, ρ), où x est un point du plan image et ρ les paramètres 2D de la génératrice. En supposant que l’objet à saisir est rigide, de densité massique homogène et globalement convexe (d’après les hypothèses 4, 11 et 9), cette fonction paramétrée peut avoir une forme quadratique. La famille des quadriques d’un espace ane de dimension n est assez vaste puisqu’elle regroupe tous les polynômes de degrés 2 à n variables. Notons qu’en dimension 2, une quadrique est appelée une conique. Dans la suite de ce chapitre, nous parlerons indiéremment de quadriques ou de fonctions quadratiques .

Le type I contient les points et les droites ; le type II, les cylindres, les ellipsoïdes, les hyperboloïdes à une nappe et à deux nappes ; le type III contient les paraboloïdes elliptiques et les hyperboloïdes elliptiques. Notons que, parmi ces formes, seules les ellipsoïdes ont un volume ni. Quelques exemples de quadriques tridimensionnelles sont donnés par la gure 6.1. Les primitives quadratiques orent un modèle de description des surfaces courbes d’une grande généricité allant même jusqu’à décrire des surfaces courbes à points complexes qui n’ont aucun sens dans le cadre de notre application. D’autre part, la représentation Q n’est pas minimale, ce qui peut faire échouer les méthodes d’estimation des paramètres que nous présenterons par la suite. Dans le reste de ce chapitre, nous montrerons comment poser le problème de l’estimation des paramètres pour résoudre ces deux points.

Calcul des informations nécessaires à la saisie

Les caractéristiques de l’objet peuvent être assimilées à celles de la quadrique qui correspond au mieux à sa forme. Le centre de la quadrique, la direction de ses axes principaux et ses dimensions le long de ses axes peuvent être obtenus à partir de l’estimation de ses coecients. Ces informations serviront à orienter la pince pour adapter l’approche à la pose et aux dimensions de l’objet.

Centre d’une quadrique

Dans une base orthonormée propre, les termes croisés XY , XZ et Y Z peuvent être annulés en eectuant les rotations adéquates et l’équation (6.1) s’écrit alors : Q(X) = q1X2 + q2Y 2 + q3Z 2 + 2q4X + 2q5Y + 2q6Z + q7 En réordonnant, l’équation ci dessus devient : Q(X) = q1(X + q4 q1 ) 2 + q2(Y + q5 q2 ) 2 + q3(Z + q6 q3 ) 2 + q10 Une autre manière de calculer le centre de la quadrique est de chercher les coordonnées du point X¯ c pour lequel les dérivées partielles ∂Q ∂X s’annulent. Cela permet de calculer les coordonnées du centre sans changer de base. Le centre de l’objet peut ainsi être estimé en résolvant le système d’équations suivant : Γ33X¯ c = b avec b = ¡ − q7 − q8 − q9 ¢> et X¯ c = ¡ Xc Yc Zc ¢>