Modélisation d’un écoulement multiphasique homogène

L’hypothèse d’écoulement homogène (dit modèle de mélange) fournit la théorie la plus simple d’analyse d’écoulements diphasiques. Des propriétés physiques moyennes adaptées sont déterminées et le fluide est traité comme un pseudo-fluide qui obéit aux équations classiques d’un écoulement monophasique. Toutes les méthodes utilisées en mécanique des fluides peuvent alors être utilisées. Les propriétés moyennes requises sont la vitesse, les propriétés thermodynamiques (température, densité) et les propriétés de transport (viscosité). Des différences de vitesse, de température et de potentiel chimique entre phases vont engendrer des transferts mutuels de quantité de mouvement, ainsi que de chaleur et de masse. Comme ces échanges se font souvent par le biais d’un processus très rapide, particulièrement lorsqu’une phase est bien dispersée dans une autre, on peut supposer que l’équilibre est atteint. Dans ce cas précis, les valeurs moyennes de vitesse, température et potentiel chimique sont les mêmes que les valeurs pour chacune des phases composant l’écoulement et on a donc un écoulement en équilibre homogène [172]. Dans le type d’écoulement multiphasique que l’on se propose d’étudier, les phénomènes thermiques ne semblent pas prépondérants (la cavitation, notamment, est un phénomène purement dynamique). Nous avons fait le choix de nous intéresser précisément à l’effet de l’écoulement à l’intérieur de l’injecteur sur l’atomisation primaire du jet, aussi ne traiterons-nous pas des problèmes de changement de phase liés aux variations de température (phénomènes d’évaporation et de condensation) que l’on rencontre dans une chambre de combustion. La modélisation correspondante ne nécessite donc pas la résolution d’une équation de conservation de l’énergie : nous travaillerons à température constante. Enfin, le traitement de la turbulence n’apparaît pas explicitement dans notre modèle puisque les équations utilisées sont laminaires. L’interaction entre cavitation et turbulence est pourtant réelle, mais on préfère se concentrer dans cette étude sur les écoulements secondaires très complexes (et fortement couplés avec la cavitation), considérant qu’ils sont prépondérants. Ruiz et He [146] ont montré que la turbulence dans les écoulements cavitants ne peut pas être modélisée comme une turbulence classique et estiment que des études complémentaires sont nécessaires à ce sujet.Coutier-Delgosha et al. [39, 40, 41] ont par exemple tenté d’adapter un modèle de type Baldwin-Lomax et un modèle k −ε aux écoulements cavitants. Basuki et al. [8] ont également introduit un modèle de turbulence, de type k − ω. Mais les résultats obtenus ne montrent pas vraiment une meilleure adéquation avec l’expérience et une phase de calage du modèle est préalablement nécessaire. 

Établissement des équations diphasiques

On considère un écoulement diphasique pour lequel on note l’une des phases par l’indice k = 1 et l’autre par l’indice k = 2. Ces différentes phases sont des fluides purs non-miscibles. Dans le cas d’une approche eulérienne, on introduit la fonction indicatrice de phase, notée χk, qui est définie telle que : χk(M, t) =  1 si la phase k est présente à l’instant t au point M 0 sinon (2.1) La fonction χk vérifie, au sens des distributions, les égalités suivantes : ∂χk ∂t + uI,j ∂χk ∂xj = 0 et ∂χk ∂xj = −nk,j δk (2.2) où uI,j est la vitesse locale de propagation de l’interface, nk,j la normale à l’interface dirigée vers l’extérieur du domaine occupé par la phase k (n1,j = −n2,j ) et δk la distribution de Dirac associée à l’interface vue de la phase k. On peut alors subdiviser ce mélange diphasique en régions purement monophasiques continues, séparées par des interfaces supposées infiniment minces et sans masse. On écrit ensuite les équations locales instantanées de la mécanique des fluides pour chaque phase k, comme le fait Ishii [88].

Conservation de la masse

L’équation de conservation de la masse pour la phase k s’écrit alors : ∂ρk ∂t + ∂ρkuk,j ∂xj = 0 (2.3) Afin de rendre valable cette équation quelle que soit la phase, on la multiplie par la fonction indicatrice de phase χk : χk ∂ρk ∂t + χk ∂ρkuk,j ∂xj = 0 (2.4) ce qui peut aussi s’écrire sous la forme suivante : ∂χkρk ∂t − ρk ∂χk ∂t + ∂χkρkuk,j ∂xj − ρkuk,j ∂χk ∂xj = 0 (2.5) et en utilisant la relation 2.2, on a la forme locale du bilan de masse pour un écoulement diphasique : ∂χkρk ∂t + ∂χkρkuk,j ∂xj = −ρk (uk,j − uI,j) nk,j δk (2.6) Modélisation de l’écoulement polyphasique à l’intérieur et en sortie des injecteurs Diesel 2.1 Établissement des équations diphasiques 65 Le terme de droite correspond au flux de matière traversant l’interface. Puisque cette dernière est supposée sans masse, le bilan total des échanges surfaciques est nul :  2 k=1 ρk (uk,j − uI,j) nk,j δk = 0 (2.7) 

Conservation de la quantité de mouvement

De même, l’équation instantanée de conservation de la quantité de mouvement à l’intérieur de la phase k peut être écrite sous la forme suivante : ∂ρkuk,i ∂t + ∂ρkuk,iuk,j ∂xj = −∂pk ∂xi + ∂τk,ij ∂xj + ρkgi (2.8) où pk est la pression dans la phase k et τk,ij est le tenseur des contraintes visqueuses, gi étant une composante de la gravité. En introduisant la fonction indicatrice de phase χk comme dans l’équation 2.4, on obtient : ∂χkρkuk,i ∂t − ρkuk,i ∂χk ∂t + ∂χkρkuk,iuk,j ∂xj − ρkuk,iuk,j ∂χk ∂xj = −∂χkpk ∂xi + pk ∂χk ∂xi + ∂χkτk,ij ∂xj − τk,ij ∂χk ∂xj + χkρkgi (2.9) ce que l’on peut également écrire : ∂χkρkuk,i ∂t + ∂χkρkuk,iuk,j ∂xj = ρkuk,i ∂χk ∂t + ρkuk,iuk,j ∂χk ∂xj    (1) + pk ∂χk ∂xi − τk,ij ∂χk ∂xj    (2) −∂χkpk ∂xi + ∂χkτk,ij ∂xj + χkρkgi (2.10) où les termes (1) et (2) représentent respectivement le transfert de quantité de mouvement lié au transfert de masse et celui lié aux forces extérieures exercées par l’autre phase au niveau de l’interface. Finalement, comme on l’a fait plus haut, la relation 2.2 permet d’écrire le bilan local de quantité de mouvement pour un écoulement diphasique : ∂χkρkuk,i ∂t + ∂χkρkuk,iuk,j ∂xj = [−ρkuk,i(uk,j − uI,j) − pk δij + τk,ij ] nk,j δk    (1)+(2) −∂χkpk ∂xi + ∂χkτk,ij ∂xj + χkρkgi (2.11) où δij est le symbole de Kronecker (δij = 1 quand i = j et δij = 0 quand i = j). J.B. Moreau, Thèse de Doctorat, INP Toulouse, 2005 66 Chapitre 2 : Modélisation d’un écoulement multiphasique homogène Les interfaces étant supposées sans inertie, mais soumises à des tensions interfaciales, l’équation de bilan surfacique exprimant l’équilibre des forces s’exerçant sur l’interface peut s’écrire :  2 k=1 [−ρkuk,i (uk,j − uI,j) − pk δij + τk,ij ] nk,j δk = fs,i δs (2.12) où fs,i est la force de tension de surface par unité d’aire interfaciale (cf. paragraphe 2.3.3) et δs est une distribution de Dirac associée à l’interface. 

Opérateurs de moyenne

Des opérateurs de moyenne sont utilisés de longue date en écoulements diphasiques [170, 47, 68, 84]. L’opérateur mathématique choisi, noté ., doit vérifier un certain nombre de propriétés indispensables à la mise en équation du problème (connues sous le nom d’axiomes de Reynolds [118]) : linéarité, idempotence et commutativité avec les opérateurs de dérivation temporelle et spatiale.