Aquifères
Un aquifère est une formation géologique perméable dont les pores ou fissures communiquent et sont suffisamment larges pour que l’eau puisse y circuler sous l’effet de la gravité (exemples : sables, graviers, craie fissurée, grès, etc.).
L’aquifère constitue ainsi un réservoir des nappes d’eau souterraines. On distingue trois types d’aquifères : aquifère à nappe libre ; aquifère à nappe captive ; aquifère à nappe semi-captive. Aquifère à nappe libre : Une aquifère est à surface libre lorsque son niveau peut varier sans être bloqué par une couche imperméable. Si on crée un puits dans une telle nappe, le niveau de l’eau reste inchangé. (Une nappe perchée est une nappe libre, permanente ou temporaire, formée dans une zone non saturée, et qui surmonte une nappe libre de plus grande extension.)
Aquifère à nappe captive : Une nappe captive est une nappe d’eau souterraine emprisonnée dans une formation géologique perméable, entre deux formations imperméables. Ici, la nappe est « sous pression » et lorsque l’on y ouvre un puits, l’eau s’élève jusqu’à un niveau d’équilibre supérieur. Il arrive même que la nappe jaillisse du sol ; c’est le phénomène d’artésianisme.
La formation représentée est un aquifère saturé sur toute son épaisseur ; il est limité vers le haut par une couche imperméable (argile) ou semi-perméable. Le niveau piézométrique, différent de celui de la surface de la nappe et toujours au-dessus de la base de la couche imperméable supérieure, est virtuel tant qu’un forage ou un piézomètre n’a pas atteint l’aquifère au travers son toit. Un tel forage est appelé forage artésien et si l’eau remonte jusqu’à la surface (niveau piézomètre au-dessus de la surface du sol) ou l’appellera forage artésien jaillissant. Il s’écoule naturellement sans pompage.
Aquifère à nappe semi-captive ou à drainance : Une nappe semi-captive est une nappe dont le toit ou le substratum (ou les deux) de l’aquifère sont souvent constitués par une formation semi-perméable. Celle-ci permet, dans certaines conditions hydrodynamiques favorables (différences de charges) des échanges d’eau (ou de pression) avec l’aquifère superposé ou sous-jacent, appelé drainance.L’importance du mécanisme de drainance, repose sur le fait que des volumes importants d’eau peuvent traverser des horizons imperméables ou semi- perméables lorsque la superficie de cet horizon est grande et qu’il existe une différence de pression de part et d’autres de cet horizon. Ce phénomène permet des échanges importants entre nappes superposées ou sous-jacentes au travers du substratum ou du toit en cas de différence de charge. On parle alors de nappes semi-captives avec substratum et toit semi-perméables.
Paramètres hydrodynamiques d’une nappe
Homogénéité et isotropie : Une propriété physique (exemple la porosité) d’un terrain aquifère est homogène lorsque sa distribution spatiale est uniforme. Autrement dit, la valeur est la même dans tous les VER. Le caractère anisotrope d’une propriété de transfert (exemple la perméabilité) est obtenu lorsque sa valeur dépend de la direction considérée dans l’espace.
L’aquifère est en général anisotrope et hétérogène mais dans la pratique, on néglige souvent cette anisotropie et cette hétérogénéité.
En effet, les filets d’eau sont à peu près parallèles à la stratification du terrain et les perméabilités varient peu suivant cet écoulement. On peut donc considérer l’aquifère comme isotrope.
Par ailleurs comme on fait toujours appel à des volumes importants de terrain et que les caractéristiques ne sont que les moyennes des valeurs ponctuelles de celui-ci, les hétérogénéités se compensent et sont fortement réduites. Le résultat, dans son ensemble, peut donc être appliqué à un aquifère homogène. On considérera donc un aquifère comme un milieu homogène et isotrope. Transmissivité : La transmissivité est la mesure de la quantité d’eau qui peut être transmise horizontalement par l’épaisseur saturée totale de la roche par unité de largeur et sous l’effet d’un gradient hydraulique égale à l’unité.
Généralités sur les Equations aux Dérivées Partielles (EDP)
L’étude théorique des EDP est mathématiquement vaste et dépasse le cadre de notre étude. Une EDP peut être elliptique, parabolique ou hyperbolique selon la forme des coefficients figurant devant ses dérivées partielles. Aussi, selon leurs propriétés mathématiques différentes, la résolution approchée par des techniques numériques des EDP requiert souvent des méthodes distinctes.
Méthodes de résolution des EDP : On a plusieurs stratégies de résolution numérique des équations aux dérivées partielles, dont les plus utilisées sont : la méthode aux différences finies ; Les termes différentiels sont évalués à l’aide de différences finies (développement de Taylor). Il existe deux types de schémas aux différences finies :
Le schéma explicite : C’est le schéma le plus simple pour lequel les variables inconnus à l’instant n+1 à un point du maillage sont calculés en fonction des variables connus aux points à l’instant n, n-1,… . Cette méthode conduit à un système d’équations linéaires, chaque variable pouvant être calculée séparément. L’inconvénient est que le schéma est instable si Δ est choisi trop grand. Le schéma implicite : Les variables inconnues à un point à l’instant n+1 sont calculées simultanément. Dans ce schéma ce qui se passe au point au temps +Δ dépend naturellement du passé immédiat dans le voisinage de et/ou y mais également du voisinage de et/ou au temps t+Δt.
Ce schéma conduit à un système d’équations non linéaires qui est résolu par des méthodes itératives et il est inconditionnellement stable.
la méthode aux volumes finis : En mécanique, pour la plupart des équations traduisant la variation d’une grandeur sous l’effet de flux entrant ou sortant, il peut être plus avantageux d’écrire l’équation aux dérivées partielles sous une forme intégrée (sur un volume de contrôle) et de discrétiser l’équation résultante. Le principal avantage par rapport à la méthode aux différences finies est de pouvoir traiter des solutions qui peuvent devenir discontinues.
la méthode aux éléments finis : L’équation originale est intégrée sur un volume de contrôle, puis la solution numérique est recherchée sous la forme d’une décomposition dans une base de fonctions choisies pour leurs propriétés.
Nous avons choisi dans notre travail la méthode des différences finis qui est la plus simple à mettre en œuvre.
Conditions aux limites : Pour la résolution d’EDP, on doit se donner des «conditions aux limites». L’équation étant vérifiée dans un domaine D de l’espace (ou espace-temps), on distingue des conditions de trois (3) types :
Conditions de Dirichlet : Une condition de charge hydraulique imposée peut exister dans une maille si la charge hydraulique de cette maille ne dépend que de conditions extérieures à l’aquifère et indépendantes de l’état de celui-ci : on parle de conditions de Dirichlet. Le concept de charge hydraulique imposée viole le sacro-saint principe de conservation de la matière.
En effet, un point ou une maille à charge hydraulique imposée peut produire ou emmagasiner un débit virtuellement infini, sans que sa charge hydraulique varie. Il faut donc être prudent dans l’utilisation de ces genres de conditions aux limites. Voici un exemple caractérisé, à des résultats physiquement irréalistes, bien que numériquement exacts.
Conditions de Neumann : On parle de conditions de Neumann si une condition de flux nul existe sur toute limite de maille appartenant à un contour externe (limite d’extension) ou interne (fenêtre géologique …). Si l’extension du domaine maille est l’extension réelle du système aquifère, les débits imposés qui traversent un élément de contour ne peuvent être que des débits entrant et indépendants de l’état du système aquifère. Les débits sortant dépendent, eux, de l’état du système aquifère.
Conditions mixtes ou de Cauchy : Les conditions aux limites mixtes ou de Cauchy correspondent à la juxtaposition des conditions aux limites de Neumann et Dirichlet sur différentes parties du bord (frontière) du domaine dans lequel est posée une équation aux dérivées partielles.
Elles donnent alors les combinaisons linéaires existantes entre le flux et le potentiel hydraulique aux frontières du domaine.
Table des matières
Introduction Générale
Chapitre I : Rappel d’Hydraulique Souterraine
I.1 Généralités sur les systèmes aquifères
I.1.1. Aquifères
I.1.2. Charge hydraulique
I.1.3. Gradient hydraulique
I.1.4. Perméabilités et loi de Darcy
I.2. Paramètres hydrodynamiques d’une nappe
I.2.1. Homogénéité et isotropie
I.2.2. Transmissivité
I.2.3. Porosité
I.2.4. Coefficients d’emmagasinement et d’emmagasinement spécifique
I.2.5. Diffusivité
I.3 Hydraulique Souterraine théorique : Equation de Diffusivité
I.3.1. Nappe libre
I.3.2. Nappe captive
Chapitre II : Etude d’une Nappe par Dérivation de l’Equation de Diffusivité
II.1. Objectif
II.2. Hypothèses sur les propriétés des nappes sollicitées par pompage
II.3. Essai de pompage en régime permanent : Méthode de DUPUIT (1863)
II.3.1. Formule de DUPUIT
II.3.2. Détermination de la perméabilité
II.4 Essai de pompage en régime transitoire : Méthodes de THEIS – JACOB
II.4.1. Equation de THEIS pour une nappe captive
III.4.2. Formule de JACOB
II.4.3. Utilisation de la formule de THEIS et de la courbe universelle pour les nappes captives
III.4.4. Utilisation de la formule de JACOB pour les nappes captives
III.4.5. Remontée de la nappe avec la méthode de JACOB
II.4.6. Application de THEIS aux nappes libres
Chapitre III : Résolution Numérique de l’Equation de Diffusivité
III.1. Généralités sur les Equations aux Dérivées Partielles (EDP)
III.2. Méthodes de résolution des EDP
III.3. Conditions aux limites
III.4. Notions de discrétisation et de maillage
III.5. Problèmes statiques et dynamiques
III.6. Résolution de l’équation de diffusivité en régime permanent
III.6.1. Discrétisation
III.6.2. Solution
III.7. Résolution en 2D de l’équation en régime transitoire
III.7.1. Méthode explicite
III.7.2. Méthode implicite
III.8. Code de calcul et organigramme
III.8.1. code de calcul
III.8.2. Organigramme
Chapitre IV : Résultats et discussions
IV.1. Simulation numérique
IV.1.1. Présentation du milieu poreux
IV.1.2. Résultats de la simulation
IV.2. Vérification
IV.2.1. Méthode de DUPUIT : régime permanent
IV.2.2. Méthode de THEIS : régime transitoire
IV.3. Commentaire
Conclusion
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
