Modélisation du rayonnement acoustique d’une structure éolienne

De nos jours, le nombre de secteurs intéressés par les problèmes multiphysiques ne cesse d’augmenter. Dans les domaines de génie mécanique, de génie civil, de l’environnement ce sont les problèmes d’interaction fluide-structure qui sont visés. Dans le domaine de l’environnement sonore, ce sont les problèmes associés au bruit qui deviennent très préoccupants. À titre d’exemple, dans le secteur des éoliennes, de l’aéronautique et de l’automobile, le champ de pression rayonné vers l’extérieur par les structures vibrantes est intense et, par le fait même, nuisible à 1 ‘homme.

Dans le cas de rayonnement acoustique des structures vibrantes complexes (voiture, moteur, audio, etc.), la résolution se fait par des méthodes numériques et généralement applicables en moyenne et basse fréquence. Parmi ces méthodes, on trouve celle des différences finies, des éléments finis et des éléments finis de frontière.

Dans le cas des travaux classiques abordés par la méthode des différences finies en acoustique, on trouve ceux de (Harumi et al, 1979) sur le rayonnement ultrasonore et sa réflexion par une fissure, ceux de (Bond, 1979) et (Georgiou et Bond, 1987) sur la modélisation numérique des champs ultrasonores réfléchis par des coins à différents angles et ceux de (Ilan et Weight, 1990), (Alia et al, 2004) et (Bouaoua et al, 2003) sur la diffraction des ondes sonores, etc. Cette méthode fait encore 1′ objet de travaux en rayonnement d’ondes acoustiques mais beaucoup moins que la méthode des éléments finis. Cette dernière s’adapte bien à des domaines de géométriques quelconques.

Concernant la méthode des éléments finis (MEF), elle a connu, depuis le début des années 60, un grand succès pour des applications en physique mécanique. Toutefois, pour les problèmes acoustiques et la propagation d’ondes, la MEF s’adapte mal à la résolution de ces problèmes dans un milieu non borné. Ceci est dû essentiellement à l’absence de la prise en compte de la condition de rayonnement de Sommerfeld. Il s’ensuit donc un choix arbitraire de troncature du domaine. Contrairement aux problèmes externes, les problèmes internes trouvent plusieurs applications.

À titre d’exemple, soulignons les travaux qui utilisent des analyses directes ou nodales pour déterminer la réponse des cavités (Craggs, 1972) et (Morand et Ohayon, 1995). Dans le cas de problèmes externes, l’utilisation d’une frontière virtuelle, pour délimiter le domaine infini du fluide, induit des réflexions artificielles. Pour contourner ce problème, plusieurs méthodes sont développées dont la méthode des conditions absorbantes (Clayton et Engquist, 1977). L’inconvénient de cette méthode est le temps de calcul (Thompson, 2006). Soulignons qu’une bibliographie riche est fournie dans (Thompson, 2006) sur l’utilisation de la méthode des éléments finis en acoustique.

Finalement, soulignons que la méthode des éléments finis de frontière (BEM : Boundary Element Method) a connu un grand succès, depuis son apparition au début des années 1970, par son utilisation pour plusieurs problèmes de la physique. Cette méthode permet l’accès aux inconnues en un point du domaine physique relativement à la connaissance des solutions à la frontière du milieu. Dans cette méthode, la discrétisation se fait sur la frontière du milieu physique et non sur le domaine physique, comme c’est le cas pour la méthode des éléments finis. Toutefois, pour les problèmes harmoniques qui caractérisent le rayonnement acoustique pour des problèmes intérieurs, la méthode présente un spectre de fréquences irrégulières et l’unicité de la solution n’est possible que pour certaines valeurs du nombre d’onde k. Ce problème, qui apparait lorsque l’on étudie les structures fermées, a été étudié en 1968 par Schneck (Schneck, 1968), par Jones (Jones, 1979) ainsi que par (Amin et Harris, 1990).

Concevoir des systèmes qui ne génèrent pas beaucoup de décibels n’est pas la seule préoccupation de l’ingénieur. Celui-ci s’intéresse également à l’action de l’air sur les structures. En effet, la présence d’un milieu physique (gaz ou liquide) bouleverse complètement les caractéristiques de résonnance des structures.

Le traitement analytique des problèmes de couplages fluide-structure n’est possible que pour des géométries simples, omniprésentes dans les cas académiques et rarement observées dans la réalité, telles que les carrés (Nakayama, Nakamuta, Takeuchi, 1981 ), les cylindres (Mazouzi, Lonville et Vittecoq, 1990), les sphères (Felippa et Geers, 1980), etc. En effet, pour ces géométries, la résolution se fait habituellement à partir de familles de fonctions sphériques ou cylindriques. À titre d’exemple, nous mentionnons les travaux de Felippa et Geers (Felippa et Geers, 1980), dans le cas de vibrations d’une structure axisymétrique en interaction avec un fluide-parfait, où la solution se fait par une décomposition en série de polynômes de Legendre de chacune des variables associée à la structure et l’utilisation des fonctions de Bessel. Ensuite, en relation avec les conditions de continuités à l’interface fluide-structure, on obtient une formulation algébrique dont la solution permet d’accéder aux variables physiques. Pour ces problèmes, on trouve deux types de classement :
a) Couplage intérieur tels les vibrations de réservoirs, de conduites, des turbines, etc. sous l’effet d’un liquide ou d’un gaz;
b) Couplages extérieurs des submersibles immergés dans un fluide occupant un domaine infini (avion, sous-marins, etc.)  .

La résolution numérique de ces problèmes se fait généralement à l’aide de deux familles d’approches numériques; une basée sur la méthode des éléments finis (Zienkiewicz et Newton, 1969) et l’autre basée sur la méthode des équations intégrales (Sayhi, 1979).

Malgré le compromis entre le temps de calcul et la précision, la méthode des éléments finis reste fort concevable pour les domaines finis. Lorsque la structure est immergée dans un milieu fluide infini, la méthode des éléments finis, devient aléatoire (choix de la frontière qui borne le domaine) et la solution approximée est obtenue généralement avec des temps de calculs élevés. Par contre, la méthode des équations intégrales évite la discrétisation du domaine de fluide et réduit considérablement le temps de calcul. Toutefois, la mise en œuvre informatique est complexe et le formalisme associé fait intervenir des intégrales singulières et nécessite une attention particulière (Erchiqui et Gakwaya, 1991; Erchiqui et Gakwaya, 1990).

Soulignons que la formulation par équation intégrale pour le problème intérieur de Helmholtz présente un spectre de fréquences irrégulières et la formulation par équation intégrale du problème de couplage élasto-acoustique, en termes de saut de pression, est exemptée de ce problème et cela pour toutes les fréquences (Mariem, 1984). Par contre, la formulation du problème intérieur ou extérieur pris séparément en terme de saut de pression interne ou externe, de part et d’autre de la surface mouillée, présente un spectre de fréquences irrégulier (Jean, 1985). Cette dernière approche, dite formulation variationnelle, est considéré dans ce travail pour établir la fonctionnelle de fluide. Ensuite, pour le problème harmonique, une analyse est effectuée pour étudier la pression acoustique induite par des éoliennes à axes vertical et à axe horizontal (sous les conditions aux limites de type Neuman). Aussi, leurs effets sur une structure élastique mince homogène et isotrope.