MODELISATION DU MOTEUR ASYNCHRONE

Moteur asynchrone

Définition 

Un moteur asynchrone est un système électromécanique qui fournit un couple mécanique au bout de l’arbre du rotor (partie tournante) à partir d’une alimentation en énergie électrique du stator (partie fixe). Pratiquement, ce système est alimenté par un courant alternatif triphasé.
Le stator porte un bobinage triphasé à 2p pôles réunis à la source fournissant les tensions de fréquence f, et le rotor polyphasé est de même nombre de pôles dont les enroulements sont mis en court-circuit sur eux même.
Sur les moteurs asynchrones, on a constaté les différents types de rotor suivant :
Le rotor bobiné : c’est un rotor à encoches où se logent les bobines qui sont couplées en étoile.
Le rotor en court-circuit : il existe trois types de rotor en court-circuit :
. rotor à cage d’écureuil simple
. rotor à encoches profondes
. rotor à double cage.

Principe de fonctionnement

On alimente le stator par des courants triphasés qui produisent trois champs magnétiques déphasés. On a alors un champ tournant résultant. Ce champ tournant induit une tension dans le rotor et donne naissance à des courants dans les barres du rotor. Le rotor est court-circuité et ces barres sont situées dans un champ magnétique. Des forces électromagnétiques sont produites au niveau de ces barres et tendent à faire tourner le rotor dans le sens de rotation du champ avec une vitesse de synchronisme. On parle alors du glissement avec la fréquence de synchronisme qui est la fréquence d’alimentation du stator.

Alimentation du moteur asynchrone 

Schéma bloc général du système 

Le système d’alimentation du moteur comporte un circuit de puissance, monté en série, composé de :
– Une source triphasée délivrant un signal sinusoïdale de fréquence et tension constantes
– Un redresseur à diode qui convertit la source de tension en une tension redressée d’amplitude constante
– Un filtre LC permettant d’annuler les harmoniques issues du redresseur et afin d’obtenir une tension continue à partir de a tension redressée
– Un hacheur abaisseur pour varier la tension d’entrée de l’onduleur
– Un onduleur qui alimente le moteur asynchrone et qui joue le rôle de variateur de fréquence

Principe de fonctionnement en pleine onde 

L’étude du comportement en « pleine onde » permet d’illustrer le fonctionnement de l’onduleur et d’introduire les caractéristiques des grandeurs d’entrée et de sortie.
Les conditions à remplir pour un bon fonctionnement, en assimilant les transistors à des interrupteurs, sont les suivantes :
– Deux interrupteurs d’un même bras sont contrôlés de manière complémentaire pour éviter de court-circuiter la source de courant continu ;
– Trois interrupteurs sont fermés, alors que les trois autres sont ouverts ;
– Les trois interrupteurs fermés sont soit un interrupteur supérieur et deux interrupteurs inférieurs, soit un interrupteur inférieur et deux interrupteurs supérieurs.
Pour illustrer la modélisation de l’onduleur, on assimilera le moteur asynchrone par trois résistances couplées en étoiles. Voici le schéma correspondant :

REGLAGE ROBUSTE

Le réglage robuste est l’une des méthodes pour traiter un problème de stabilité, de précision et de performance d’un système dans le domaine de l’automatique et de l’asservissement.
Pour que le système fonctionne correctement, il doit donc être robuste aux imperfections du modèle, c’est-à-dire aux écarts entre le modèle et le système réel, aux dérives des paramètres physiques, et aux perturbations externes.
Donc, l’avantage essentiel des techniques de commande robuste est de générer des lois de commande qui satisfont à ces exigences.
Notre objectif dans ce chapitre est d’illustrer la théorie du réglage robuste et aussi de mettre le point sur les différentes conditions et critères de robustesse d’un système linéaire perturbé.

Rappels d’automatique 

Dans cette section, on rappelle quelques notions élémentaires d’automatique qui seront utilisés tout au long de ce mémoire.

Fonction de transfert 

Soit g(t) la réponse impulsionnelle d’un système linéaire S, c’est-à-dire sa réponse à l’entrée u(t). Par le principe de superposition, on montre que pour une entrée u(t) quelconque, la sortie y(t) est donnée par.

Diagramme des valeurs singulières 

Le diagramme des valeurs singulières est une généralisation du diagramme de gain de Bode pour les systèmes multivariables. Etant donnée une fonction de transfert G(s) , ce diagramme trace les courbes : dénote la i-ième valeur singulière. Rappelons que la plus grande valeur singulière est une norme et correspond au gain maximal. Mais il n’y a pas d’équivalent naturel de la phase pour les systèmes multivariables.
Les valeurs singulières permettent de visualiser les bandes passantes et les bandes atténuées du système. Elles jouent donc un rôle très important pour définir les performances, la stabilité et la robustesse d’un système.

Diagramme de Nyquist 

Le diagramme de Nyquist représente la fonction G(jω) dans le plan complexe. A chaque fréquence ω, on associe le point de coordonnées et Im(G(jω)). Le contour de Nyquist est la courbe de -∞ à +∞.
Le tracé de Nyquist joue un rôle important dans la stabilité en boucle fermée d’un asservissement. On s’intéresse à la stabilité de la fonction de transfert :
Le critère de Nyquist fournit un moyen graphique simple pour étudier la stabilité de S(s) à partir du seul tracé de Nyquist du transfert en boucle ouverte . Ce critère s’applique dès que F(s) n’a pas de pôle sur l’axe imaginaire et peut s’énoncer comme suit :
Critère de Nyquist : le système est stable si et seulement si le contour de Nyquist de F(s) parcouru de entoure le point critique (-1,0) un nombre de fois égal au nombre de pôles instables de F(s)
La conception d’un asservissement consiste à ajuster la fonction de transfert K(s) du compensateur de manière à obtenir les propriétés et le comportement désiré en boucle fermée. On recherche les meilleures performances possibles. La conception s’exécute sur un modèle idéalise du système, donc, d’assurer la robustesse aux imperfections de ce modèle. On se heurte aussi à des limitations intrinsèques comme le compromis entre performances et robustesse.

Modélisation des incertitudes 

Il est sûr que dans une application industrielle des incertitudes de modélisation existent et nous avons intérêt à les prendre en considération. Nous pouvons les classer en deux catégories : les incertitudes non structurées rassemblant les dynamiques négligées, le bruit des capteurs, et les incertitudes structurées liées aux variations ou aux erreurs d’estimation sur certains paramètres physiques du système.

Incertitudes non structurées 

La représentation de ces incertitudes exige la connaissance des phénomènes physiques qui les causent et la capacité à les représenter sous forme simple et facile à manipuler. On distingue plusieurs méthodes de représentation de ces incertitudes : désignent respectivement la matrice de transfert du système nominal, perturbé et de la perturbation.
Incertitudes additives : Elles représentent, en général, des incertitudes absolues par rapport au modèle nominal. Cette représentation est souvent utilisée pour modéliser des dynamiques ou des non linéarités négligée

Stabilité robuste 

La stabilité en boucle fermée est sensible aux erreurs de modélisation du système (∆P(s)) et aux dérives de la commande (∆K (s)).Assure la stabilité du modèle nominal bouclé n’est donc pas suffisant. Il faut également garantir la stabilité de tous les systèmes atteignables par les perturbations ∆P et ∆K admissibles, parmi lesquels se trouve le système réel lui-même.
La stabilité est dite robuste lorsque cette garantie supplémentaire est fournie.

La synthèse H∞

Dans ce chapitre, nous examinons la technique de synthèse H∞ . Ce chapitre prend en compte les différentes spécifications et les conflits qui apparaissent dans de nombreux problèmes pratiques. On portera attention à un problème appelé loopshaping et sur le choix des fonctions de pondération. Ces fonctions jouent un rôle très important dans les applications car elles déterminent la bande passante du système commandé mais aussi sa robustesse et ses propriétés en termes de rejection de bruit.
Comme c’est une approche fréquentielle, les spécifications classique (temps de montée, rejet des perturbations, atténuation du bruit,…) peuvent être facilement interprétées dans le domaine fréquentiel.

Méthodes

La synthèse H∞ nous propose, pour la conception d’un correcteur idéal à la robustesse du système bouclé vis-à-vis des incertitudes et perturbations y présentes, des méthodes de résolution des problèmes dits H ∞ afin de satisfaire les performances et stabilités demandées à partir du cahier de charge de ce système.
On a, tout d’abord, deux approches pour la synthèse H∞ :
Approche standard dont la résolution du problème H∞ conduit à utiliser l’un des deux méthodes suivantes :
. méthode des équations de Riccati
. méthode par inégalités matricielles affines ou LMI (en anglais Linear Matrix Inequalities).

Approche H∞ 

L’approche H∞ possède des méthodes efficaces pour calculer un correcteur robuste d’un système incertain. On a quatre méthodes et stratégies de contrôle qui sont :
 La sensibilité mixte
 Une variante de la sensibilité mixte
 Loopshaping
 -synthèse
Dans notre cas, on va traiter le problème par la méthode Loopshaping.

Méthode résolution par loopshaping

Définition du loopshaping 

L’approche par loopshaping consiste à régler, avant le calcul du correcteur, les performances en modelant la boucle ouverte, par l’ajout des fonctions de pondération, suivant le principe de l’automatique classique. Elle a pour but de calculer un correcteur K et d’obtenir la performance/stabilité robuste du système. Nous la présentons dans le cadre multivariable.
On a pour objectif de minimiser l’erreur statique ainsi que les perturbations dans le système ; de chercher un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant, po ur une valeur γ > 0 donnée.

Table des matières

INTRODUCTION 
PARTIE 1 : REPRESENTATION DU SYSTEME
CHAPITRE 1 : REPRESENTATION D’ETAT
1. Notion de système
Système linéaire et invariant
2. Les équations d’état d’un système continu
2.1. Systèmes monovariables
2.2. Systèmes multivariables
2.3. Equation d’état à partir de sa fonction de transfert
2.4. Résolution de l’équation d’état
2.5. Commandabilité
2.6. Observabilité
CHAPITRE 2 : MODELISATION DU MOTEUR ASYNCHRONE
1. Moteur asynchrone
1.1. Définition
1.2. Principe de fonctionnement
1.3. Les équations d’une machine asynchrone
1.3.1. Le glissement
1.3.2. Les équations en grandeur de phase
1.3.3. Equations des tensions
1.3.4. Equations des flux
1.3.5. Equations dynamiques
2. Modèle d’état du moteur asynchrone
3. Alimentation du moteur asynchrone
3.1. Schéma bloc général du système
3.2. Le redresseur
3.2.1. Schéma théorique du redresseur avec filtre LC
3.2.2. Expression et valeur des tensions
3.2.3. Caractéristiques du filtre LC
3.2.4. Fonction de transfert
3.3. Hacheur abaisseur
3.3.1. Principe
3.3.2. Schéma et principe d’un hacheur abaisseur
3.3.3. Fonction de transfert
3.4. Onduleur triphasé
3.4.1. Principe et schéma du circuit de puissance
3.4.2. Fonctionnement en pleine onde
3.4.3. Equations des tensions
3.4.4. Fonction de transfert
4. Modèle d’état du système complet
PARTIE II : ETUDES THEORIQUE SUR LE CONCEPT DU REGLAGE ROBUSTE
CHAPITRE 1 : REGLAGE ROBUSTE
1. Rappels d’automatique
1.1. Fonction de transfert
1.2. Représentation interne
1.2.1. Stabilité interne
1.2.2. Interconnections de systèmes
1.2.3. Définition du système asservi pour l’étude de la robustesse
1.3. Valeur singulière
1.4. Norme H∞
2. Notions élémentaires sur les asservissements
2.1. Système en boucle ouverte
2.2. Système bouclé
2.3. Régulateur standards
2.4. Quelques configurations de boucle
2.4.1. Boucle de régulation
2.5. Equations et fonctions caractéristiques
2.6. Stabilité
2.7. Performances
2.8. Bande passante
2.9. Réponse temporelle
2.10. Outils d’analyse des asservissements
2.10.1. Diagramme de Bode
2.10.2. Diagramme des valeurs singulières
2.10.3. Diagramme de Nyquist
3. Modélisation des incertitudes
3.1. Incertitudes non structurées
3.2. Incertitudes structurées
3.3. Stabilité robuste
3.4. Performances nominales
CHAPITRE 2 : LA SYNTHESE H∞
1. Le problème H∞ standard
2. Les différentes méthodes de synthèse H∞
3. Méthode de résolution par loopshaping
3.1. Définitions du loopshaping
3.2. Démarche des calculs
3.2.1. Première étape
3.2.2. Deuxième étape : stabilisation robuste
3.2.3. Troisième étape : calcul de correcteur de retour final K
3.3. Condition de performance robuste
3.4. Organigramme de la méthode de loopshaping
PARTIE III : SIMULATION ET APPLICATION DE LA METHODE DE LOOPSHAPING AU SYSTEME COMPLET
1. Rappel des équations du système
2. Simulation d’alimentation
2.1. Représentation sur SIMULINK MATLAB 7.8
2.2. Résultats de la simulation
2.3. Interprétations des résultats
3. Loopshaping
3.1. Filtre de pondérations choisies
3.2. Analyse fréquentielle du système
3.3. Analyse de sensibilité de système
3.4. Synthèse du correcteur
3.5. Courbes des valeurs singulières du système modifié et du système corrigé
3.6. Interprétations et vérifications des conditions de robustesse
ETUDES D’IMPACTES ENVIRONNEMENTAUX 
CONCLUSION 
ANNEXE