Modélisation du comportement mécanique

Eléments de mécanique des milieux continus 

Cinématique des grandes transformations

L’espace euclidien tridimensionnel est muni d’un repère cartésien fixe d’origine O et de vecteurs de base (e1 , e2 , e3 ). On considère un corps déformable constitué de points matériels appelés particules. Le corps est dans une position dite configuration de référence Ωo à un instant initial to ; sous l’action de sollicitations extérieures, le corps est mis en mouvement, se déforme et se retrouve dans la configuration dite courante Ωt à un instant t comme illustré sur la Figure 2.1. 18 Modélisation du comportement mécanique Chapitre 2. Modélisation du comportement 19 Figure 2.1: Mouvement d’un corps déformable de la configuration de référence à la configuration courante. Examinons le mouvement d’une particule A choisie arbitrairement. Sa position en configuration initiale est donnée par le vecteur X et sa position en configuration courante par x. Le mouvement de A sera analysé en description lagrangienne plutôt qu’en description eulérienne plus adaptée aux écoulements de fluides. Ainsi une variation infinitésimale de la position de A dans Ωt se formalise par rapport à Ωo comme suit : dx = ∂x ∂X dX (2.1) De cette relation, on définit le gradient de la transformation F par : F = ∂x ∂X (2.2) Le tenseur F caractérise de façon locale la transformation et porte l’information sur la déformation du voisinage du point matériel A. Cette information comporte une déformation pure et une rotation. Ainsi, le gradient de la transformation F admet une décomposition polaire qui s’écrit de manière unique : F = R · U = V · R (2.3) R est un tenseur orthogonal qui représente les rotations de corps rigide. U et V sont respectivement les tenseurs droit et gauche de déformation pure ; ils sont symétriques et  définis positifs. Lors d’un mouvement de corps rigide, le solide ne subit aucune déformation pure et on a de fait les égalités U = I et F = R où I est le tenseur identité d’ordre deux. Afin de garantir une déformation nulle dans de tels cas de figure, il est classique de définir des mesures de déformations à partir de F, U ou V et il en existe un très grand nombre. Le tenseur de déformation de Green-Lagrange est défini sur la configuration de référence par : EL = 1 2  F T · F − I  = 1 2  U2 − I  (2.4) La mesure de déformation logarithmique ou mesure de Hencky s’écrit sur la configuration de référence : EH = ln (U) (2.5) La dimension temporelle entre bien évidemment dans la représentation du mouvement et la vitesse particulaire s’écrit v = ∂x ∂t . On peut alors définir le gradient de vitesses de déformation par : L = ∂v ∂x = F˙ · F −1 (2.6) Il se décompose en une partie symétrique, la vitesse (ou taux) de déformation D et une partie antisymétrique la vorticité ou spin W : L = D + W avec D = 1 2  L + L T  et W = 1 2  L − L T  (2.7) Le tenseur spin W peut être interprété physiquement comme la vitesse de rotation des axes principaux du taux de déformation. 

Mesures de contrainte

Il existe dans la littérature plusieurs définitions du tenseur des contraintes. Il convient de faire un choix judicieux de la mesure appropriée aux effets que l’on cherche à représenter et/ou concordante avec les outils numériques et expérimentaux dont on dispose. En particulier, les lois de comportement associent des paires contrainte-déformation bien spécifiques. Les expressions les plus courantes sont les formes eulériennes τ tenseur de Kirchhoff et σ tenseur de Cauchy, mixtes B premier tenseur de Piola-Kirchhoff et lagrangiennes π second tenseur de Piola-Kirchhoff. Les tenseurs σ et B ont une signification physique en ce qu’ils caractérisent directement les efforts appliqués. En effet, considérons (Figure 2.2) dans une configuration de référence, un élément de surface d’aire dS et de normale N. Après déformation, donc en configuration courante, cet élément occupe une aire ds et a n pour normale unitaire. Figure 2.2: Représentation des configurations courante et de référence. Si on suppose qu’en configuration courante, il s’exerce sur l’élément de surface une force df, alors on aura les expressions suivantes : df = σ · nds et df = B · NdS (2.8) En clair, par définition σ est une mesure de la force par unité de surface dans l’état déformé et B une mesure de la force appliquée au corps déformé par unité de surface non déformée. Le tenseur de Kirchhoff τ est relié à celui de Cauchy par τ = Jσ où J est le déterminant du gradient de la transformation F. Son utilisation permet d’alléger les formulations et il possède comme le tenseur de Cauchy la propriété de symétrie. En revanche, le premier tenseur de Piola-Kirchhoff n’est pas en général symétrique, ce qui peut rendre complexe son utilisation dans le développement et l’implantation numérique de modèles. Le second tenseur de Piola-Kirchhoff π est, lui, symétrique et lagrangien. C’est une mesure de la force dg, résultat du transport de df en configuration de référence, par unité de surface non déformée. Il s’écrit : π = JF −1 · σ · F −T (2.9)

Lois de comportement, hyper et hypoélasticité

Nous nous intéressons ici au comportement à froid et négligerons par conséquent les effets thermiques. Dans un tel cadre, une loi de comportement est une relation qui définit la contrainte en fonction de la déformation et, éventuellement, leurs vitesses. C’est une relation physique qui ne doit pas varier d’un référentiel à l’autre. En d’autres termes, les entités qui servent à écrire les lois de comportement doivent être objectives c’est-à-dire invariantes par rapport à un changement de référentiel. L’hyperélasticité et l’hypoélasticité sont deux approches couramment employées pour formuler une loi de comportement. Les modèles hyperélastiques sont basés sur les lois de la thermodynamique (voir par exemple (Lemaitre et Chaboche, 2004)). La loi de comportement dérive d’un potentiel thermodynamique qui est formalisé comme une densité d’énergie de déformation. Initialement développée pour décrire le comportement de matériaux qui admettent des taux importants de déformations élastiques (caoutchouc, polymères), l’approche hyperélastique a été étendue à la plasticité des métaux par (Simo et Ortiz, 1985). Les fondements thermodynamiques de ces modèles sont solides et la formulation est matérielle (établie sur la configuration de référence) et de fait objective. Si on suppose une densité d’énergie libre de Helmholtz Ψ, alors la loi de comportement s’écrit : π = 2 ∂Ψ ∂U2 (2.10) Ces modèles sont toutefois relativement complexes à mettre en oeuvre et la définition du potentiel thermodynamique sous-jacent peut s’avérer délicate.