Modélisation du comportement des élastomères

Modélisation du comportement des élastomères

Le chapitre précédent a montré que le polychloroprène, en plus de supporter de grandes déformations, possèdait une composante dissipative, que nous pouvons supposer de nature viscoélastique. L’objectif de ce chapitre est d’établir un modèle pouvant représenter la réponse mécanique de notre matériau. Une première partie, inspiré des travaux de (Méo, 2000), traitera du cadre thermodynamique des grandes déformations, dans lequel se basera la formulation de notre loi de comportement. Une liste non exhaustive de modèles hyperélastiques, puis viscohyperélastiques sera alors présentée. Dans une seconde partie, deux modèles complémentaires (analytique et éléments finis) seront alors définis. Ceux-ci seront utilisés pour déterminer des paramètres mécaniques localisés dans une structure en caoutchouc dans le chapitre suivant. 

Cadre des grandes déformations 

Définitions et description du mouvement 

Soit un solide S évoluant dans un référentiel ℜ. Il occupe le domaine Ω dans la configuration C0 que nous considérons comme la configuration initiale. Il occupera à l’instant t le domaine ω dans la configuration Ct . (Fig. 2.1). On peut définir une fonction χ qui, à la position X~ d’une particule P dans C0 associe ~x sa position dans Ct : χ :     C0 → Ct X~ 7−→ ~x = χ(X, t ~ ) (2.1) En utilisant ~u, le vecteur déplacement, l’eq. 2.1 peut se mettre sous forme équivalente  (2.2) En vue de définir la transformation locale, au voisinage de la particule P, on introduit classiquement l’application linéaire tangente F ¯¯ associée à la fonction χ. Considérant un vecteur dX~ dans la configuration initiale, son image d~x dans la configuration actuelle s’obtient par la relatiet de manière indicielle, en utilisant l’eq.2.3 : Fij = ∂xi ∂Xj = ∂ui ∂Xj + δij (2.4) F ¯¯ (appelé aussi gradient de la transformation) représente la cinématique du mouvement de la configuration initiale vers la configuration actuelle. Au niveau local, les lois de transformation, liant un élément de volume dV ou de surface N dS ~ de C0 à leurs images respectives dv et ~nds dans Ct , se déclinent comme suit : pour un élément de volume dv = det F dV ¯¯ (2.5) pour un élément de surface ~n.ds = det F ¯¯F ¯¯−T .N dS ~ (2.6) D’après l’eq. 2.5, la condition d’incompressibilité (c’est à dire conservation de volume) peut localement s’exprimer comme suit : J = det F ¯¯ = 1 (2.7) Cette condition est courrament utilisée dans le cadre de l’étude des élastomères qui sont considérés comme incompressibles.

 Description des déformations 

Les déformations peuvent être décrites suivant deux approches, selon la configuration dans laquelle nous nous plaçons : la description lagrangienne (configuration initiale) et la description eulérienne (configuration actuelle). 

Description lagrangienne des déformations

 Soient dX~ et dY~ deux vecteurs de la configuration initiale C0 et soient d~x et d~y leurs images respectives dans la configuration actuelle Ct . On a donc : ~dx. ~dy = (F. ¯¯ ~dX).(F. ¯¯ ~dY ) = ~dX.F ¯¯T .F. ¯¯ ~dY = ~dX.C. ¯¯ ~dY (2.8) On définit ainsi le tenseur des dilatations, ou tenseur de Cauchy-Green droit : C ¯¯ = F ¯¯T .F ¯¯ (2.9) Considérant les déformations comme les variations de dilatations entre l’état de référence et l’état actuel, on définit le tenseur des déformations de Green-Lagrange par : E ¯¯ = 1 2 (C ¯¯ − ¯¯I) 

Description des efforts

 Trois descriptions peuvent être utilisées pour définir l’état de contrainte dans un solide, suivant que l’on considère (fig. 2.2) : – les efforts intérieurs de cohésion dans la configuration actuelle (~dt) à travers un élément de surface déformée (~nds) (description eulérienne) – les efforts intérieurs de cohésion dans la configuration actuelle (~dt) à travers un élément de surface non déformée (N dS ~ ) (description mixte) – le transport des efforts de cohésion ( ~dT) à travers un élément de surface non déformée (N dS ~ ) (description lagrangienne) 

Description eulérienne

 On définit σ¯¯ le tenseur des contraintes de Cauchy comme suit : ~dt = σ.~nds ¯¯ (2.19) σ¯¯ représente donc les efforts de cohésion réellement exercés à travers un élément de surface déformé et par unité de surface déformée. Ce tenseur est symétrique. 

Description mixte

 Le transport de l’élément de surface ~nds dans cette configuration permet d’écrire : ~dt = σ.J ¯¯ F ¯¯−T .N dS ~ (2.20) Soit, en définissant Π ¯¯ comme le premier tenseur de Piola-Kirchoff (PK1) : ( Π =¯¯ Jσ. ¯¯ F ¯¯−T ~dt = Π ¯¯ .N dS ~ (2.21) Π ¯¯ est un tenseur non symétrique. On parle de description mixte des contraintes car Π ¯¯ n’est ni lagrangien, ni eulérien