Modélisation du caractère hétérogène enrichissements cinématiques éments finis

Modélisation du caractère hétérogène enrichissements cinématiques éments finis

Notion de maillage non adapté et lien avec les enrichissements

Lorsque des matériaux hétérogènes sont étudiés, il est nécessaire de pouvoir faire varier la microstructure (nombre d’inclusions, fractions volumiques et formes) sans que ces changements entraˆınent un coˆut prohibitif du processus de remaillage. La première méthode de maillage de matériaux hétérogènes consiste à utiliser un maillage adapté aux interfaces, c’est-à-dire contraint à suivre la position géométrique des interfaces (par exemple interfaces agrégats/mortier pour un béton). Cette approche nécessite souvent des processus de maillage sophistiqués. En général, ce type d’approche peut ˆetre décomposé en trois étapes majeures.

Une première étape consiste à représenter la géométrie en construisant l’interface, soit en utilisant des outils de CAO, soit à partir d’algorithmes dits de Marching-Cubes [Lorensen and Cline, 1987]. Une deuxième étape consiste à générer un maillage surfacique de cette interface (avec par exemple un maillage composé de triangles sous formes d’éléments coques [Jean, 2009]). Enfin, dans une troisième étape le domaine d’étude est rempli par un maillage volumique.

Deux méthodes sont couramment utilisées, la triangulation de Delaunay [Georges and Borouchaki, 1997] ou les méthodes dites de front [L¨ohnert, 2004]. Un exemple de ces trois étapes concernant le maillage de microstructures d’élastomères chargés est proposé dans [Jean, 2009]. Le principaux désavantages de cette approche sont les suivants. Tout d’abord, la modélisation du comportement à l’interface, comme le décollement, requiert un effort important du fait de la complexité des algorithmes de Marching-Cubes. Il arrive, ensuite, que les éléments à l’interface soient distordus ce qui entraˆıne des problèmes de conditionnement et donc de convergence.

Enfin, à chaque fois que l’on change la microstructure, cela oblige à remailler à la fois tout le domaine, toute la microstructure et toutes les interfaces. Ce dernier point est certainement celui qui a motivé une approche différente, à savoir l’utilisation d’un maillage non adapté aux interfaces, c’est-à-dire non contraint à suivre la position géométrique des interfaces. De ce fait, certains éléments se retrouvent coupés au niveau de l’interface en deux parties ayant des propriétés différentes : leurs champs de déformations présentent alors un saut fini au niveau de l’interface (discontinuité dans le champ de déformations), cela est appelé dans la littérature une discontinuité faible.

Ainsi, l’information géométrique et matérielle est directement intégrée au sein de l’élément. Un exemple d’utilisation de discontinuité faible est présent dans [Ortiz et al., 1987] o`u la prise en compte de bandes de cisaillement avec des éléments finis de type Q4 est expliquée : dans cette approche, seule une discontinuité faible peut ˆetre présente au sein d’un élément, et donc une autre discontinuité faible est nécessaire dans l’élément voisin pour modéliser la bande de localisation entière (Fig. 1.1).

L’inconvénient de la méthode réside dans le fait qu’une seule discontinuité faible est introduite dans l’élément. L’apparition de la bande de localisation est donc dépendante, dans une certaine mesure, de la taille de l’élément. Cette idée a ensuite été développée et améliorée par [Belytschko et al., 1988]. Les auteurs ont proposé de mettre directement dans l’élément une zone de localisation, c’est-à-dire qu’un élément peut contenir une bande de déformation localisée bornée par deux discontinuités faibles parallèles (Fig. 1.2). La bande de localisation devient ainsi indépendante de la taille de l’élément et peut ˆetre considérée comme un paramètre matériel. Cependant la taille minimale des éléments doit ˆetre imposée. En effet, l’épaisseur de la bande de localisation doit rester inférieure à la taille d’un élément.

Méthodes d’enrichissement de la cinématique d’un élément fini

La littérature fournit de nombreuses méthodes d’enrichissement cinématique de la base éléments finis classique permettant d’introduire une discontinuité faible avec des maillages non adaptés. Cette discontinuité faible permet de capturer entre autres la présence de vides ou d’inclusions. 

Generalized Finite-Element Method 

G-FEM Notons, tout d’abord, la Generalized Finite-Element Method (G-FEM) [Strouboulis et al., 2000a] qui permet aux auteurs [Strouboulis et al., 2000b] de modéliser des vides. La G-FEM repose sur une combinaison de la méthode des Eléments Finis clas- ´ sique et de la méthode de la Partition de l’Unité [Babuˇska and Melenk, 1997].

Les espaces éléments finis classiques sont enrichis par l’ajout de fonctions spéciales prenant en compte  des informations connues au sujet des conditions aux limites et des données d’entrée. Ces fonctions spéciales sont multipliées par la partition de l’unité correspondant aux fonctions de forme élément fini linéaire standard valant 1 en un sommet Vi donné et 0 ailleurs. Elles sont ensuite sommées avec la base élément fini existante pour construire un espace élément fini continu enrichi.

La partition de l’unité peut se définir, dans le cas de la G-FEM, de la fa¸con suivante : étant donné un ensemble de sous-domaines se chevauchant appelés patch {Ωi} et un ensemble de fonctions Ψi = {ψ (i) j |ψ (i) j ⊂ H1 (Ω)} ayant les propriétés d’approximations souhaitées associées à chaque patch , la solution en terme de partition de l’unité sur un domaine Ω se définit comme uP UM = X i φi( X j a (i) j ψ (i) j ), (1.1) o`u ψ (i) j (x, y) est une fonction spéciale de l’ensemble Ψi (Fig. 1.3). L’espace Ψi sera appelé l’espace patch. Les a (i) j sont des coefficients constants. La séquence de fonctions φi (une pour chaque patch de l’ensemble {Ωi}) est une partition de l’unité C 0 sur Ω et sert à imposer la continuité.

Cette version de la partition de l’unité inclut l’espace des fonctions linéaires éléments finis usuelles, mais rien n’interdit d’ajouter l’espace des fonctions de forme élément fini d’ordre plus élevé, φ˜ k. Finalement l’approximation élément fini type G-FEM s’écrit : u−GF EM = nXvert i φi( Xni j a (i) j ψ (i) j ) + nXF EM k bkφ˜ k, (1.2) o`u nvert est le nombre de fonctions φi , ni est le nombre de fonctions spéciales dans l’espace patch Ψi associé à un sommet Vi et nF EM est le nombre d’éléments finis d’ordre plus élevé.