Modélisation directe de l’OLR et du taux de chauffage à grande longueur d’onde

L’équation du transfert radiatif pour une parcelle de gaz d’épaisseur infinitésimale Nous développons ici le raisonnement permettant d’établir l’équation différentielle du transfert radiatif dans le cas d’une parcelle de gaz d’épaisseur infinitésimale. Ce développement est à la base du transfert radiatif et est décrit dans de nombreux ouvrages (Stamnes, Thomas et Stamnes 2017, Liou 2002, Chevallier 1998 et Crevoisier 2004 par exemple).

Considérons une onde électromagnétique de nombre d’onde ν traversant une surface dS se propageant dans la direction Ω~ , sous l’angle solide élémentaire dω à travers une surface transparente d’aire élémentaire dS et de normale ~n orientée d’un angle θ par rapport à la direction de propagation de sorte que cos θ = ~n · Ω~ (géométrie présentée en figure 2.2). Nous définissons alors la luminance énergétique spectrale comme la dérivée de l’énergie transportée par l’onde E par unité de surface, d’angle solide, de temps dt et de nombre d’onde : Iν(M, Ω) = ~ d 4E cos θdSdωdtdν . (2.3) 

TRANSFERT RADIATIF ATMOSPHÉRIQUE À GRANDE LONGUEUR D’ONDE

Figure 2.2 – Énergie radiative transportée par un faisceau de rayonnement électromagnétique dans la direction Ω~ , sous l’angle solide élémentaire dω à travers une surface transparente d’aire élémentaire dS et de normale ~n orientée d’un angle θ par rapport à la direction de propagation (cos θ = ~n · Ω~ ). S’exprimant en W m−2 sr−1 (cm−1 ) −1 , la luminance énergétique spectrale est une quantité scalaire positive par définition décrivant la variation angulaire du flux d’énergie selon la position M pour un nombre d’onde donné.

Figure 2.3 – Représentation schématique d’une parcelle de gaz de coefficient d’extinction kν et d’épaisseur infinitésimale dl, traversée longitudinalement par un faisceau de luminance spectrale Iν(M, Ω) ~ à l’entrée de la parcelle et subissant une extinction de dIν à sa traversée. Considérons, comme sur la figure 2.3, une parcelle de gaz d’épaisseur infinitésimale dl, traversée par un faisceau de rayonnement d’incidence normale. Dans ce problème simplifié, la position est alors repérée par l’abscisse l et la dépendance angulaire peut être omise. Comme nous l’avons vu dans la section 2.1.1, lors de la traversée d’une parcelle de gaz, le rayonnement interagit avec le milieu par les phénomènes d’absorption et de diffusion entrainant une extinction dIext ν .

Suivant la loi de Beer–Lambert–Bouguer, la variation de luminance spectrale causée par l’extinction dIext ν à la traversée de ce milieu est proportionnelle à la luminance spectrale du rayonnement incident Iν(l) et à l’épaisseur du milieu traversé dl : dIext ν (l) = −kν(l)Iν(l)dl (2.4) où kν est le coefficient d’extinction monochromatique au nombre d’onde ν qui s’exprime en m−1 . Le coefficient d’extinction monochromatique dépend du nombre d’onde, de la température et de la concentration des éléments absorbants ou diffusants traversés.

Il est la somme du coefficient d’absorption et du coefficient de diffusion pour chaque espèce (i)  en interaction avec le rayonnement : kν(l) = X i k abs(i) ν (l) + k dif(i) ν (l) (2.5) Dans notre traitement où nous négligeons les phénomènes de diffusion, le coefficient de diffusion est nul et le coefficient d’extinction est égal au coefficient d’absorption. En intégrant l’équation 2.4 sur un chemin de longueur l, entre les abscisses 0 et l, on obtient l’équation suivante dérivant l’extinction subie par la luminance spectrale : Iν(l) = Iν(0) exp  − Z l 0 kν(l 0 )dl0  (2.6) On voit apparaître dans cette équation la notion d’épaisseur optique (grandeur sans unité) suivant la direction de propagation, entre 0 et l : σν(l) = Z l 0 kν(l 0 )dl0 (2.7) ainsi que la fonction de transmission (grandeur sans unité) suivant la direction de propagation, entre 0 et l : τν(l) = exp (−σν(l)) (2.8)

Venant contrebalancer l’extinction, la variation de luminance spectrale dIemi ν causée par l’émission spontanée de la parcelle de gaz est également proportionnelle à l’épaisseur de la parcelle traversée et s’écrit : dIemi ν (l) = k emi ν (l)Jν(l)dl (2.9) où l’on introduit le coefficient d’émission monochromatique k emi ν , ainsi que la fonction source Jν (de même unité que la luminance spectrale) de la parcelle de gaz.

Comme nous l’avons expliqué dans la section 2.1.1, sous l’hypothèse d’équilibre thermodynamique local, d’une part la parcelle de gaz est localement assimilable à un corps noir et d’autre part, la loi de Kirchhoff est valide. La fonction source suit donc la loi de Planck à la température locale T de la parcelle (Eq. 2.2) et les coefficients d’émission et d’absorption sont égaux.